Resolva as equações: y'' - 7y' + 12y = -e^(4x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Observando o lado direito , a gente tenta uma solução da forma:
onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Ops! Isso significa que a nossa suposição inicial para está na solução da homogênea, então precisamos multiplicar por para ajustar. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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