Resolva as equações: y'' - 3y' + 2y = e^t + e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.

Passo 6

Observamos que o lado direito da equação é a soma de e . Geralmente, assumimos soluções particulares da forma . Porém, como e são soluções da equação homogênea, precisamos multiplicar por para obter soluções independentes.
Então, nossa solução particular proposta será:

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 10

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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