Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
é composta pelo topo e pelos quatro lados de um cubo com vértices em
, e a orientação é para fora. O Teorema de Stokes vai ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
é igual à integral de linha de
ao redor da curva de contorno
de
. Matematicamente, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é encontrar a curva de contorno
e calcular a integral de linha
.
Passo 3
Vamos identificar a curva de contorno
. Como a superfície
é composta pelo topo e pelos quatro lados do cubo, a única borda aberta é o contorno superior do cubo, que é o quadrado no plano
com vértices em
. Ou seja,
é o perímetro desse quadrado no topo do cubo.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar essa curva
. Podemos percorrer o perímetro do quadrado de
em quatro segmentos:
- De
a . - De
a . - De
a . - De
a .
Vamos parametrizar cada segmento separadamente.
Segmento 1: De
a
Segmento 2: De
a
Segmento 3: De
a
Segmento 4: De
a
Passo 5
Vamos calcular a integral de linha
somando as integrais de cada segmento.
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Integral no Segmento 1:
Substituindo em
:
Calculando
:
Integrando de
a
:
Integral no Segmento 2:
Substituindo em
:
Calculando
:
Integrando de
a
:
Integral no Segmento 3:
Substituindo em
:
Calculando
:
Integrando de
a
:
Integral no Segmento 4:
Substituindo em
:
Calculando
:
Integrando de
a
:
Resposta
Somando todas as integrais dos segmentos, temos:
Portanto,