Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S. F(x, y, z)=(x y z, x y, x^2 y z), S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), com orientação para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x y z, x y, x^2 y z). A superfície S é composta pelo topo e pelos quatro lados de um cubo com vértices em (pm1, pm1, pm1), e a orientação é para fora. O Teorema de Stokes vai ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S é igual à integral de linha de F ao redor da curva de contorno partial S de S. Matematicamente, isso é escrito como:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot d r
Então, nosso objetivo é encontrar a curva de contorno partial S e calcular a integral de linha ointpartial S F cdot d r.

Passo 3

Vamos identificar a curva de contorno partial S. Como a superfície S é composta pelo topo e pelos quatro lados do cubo, a única borda aberta é o contorno superior do cubo, que é o quadrado no plano z = 1 com vértices em (pm1, pm1, 1). Ou seja, partial S é o perímetro desse quadrado no topo do cubo.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva partial S. Podemos percorrer o perímetro do quadrado de z = 1 em quatro segmentos:
  1. De (-1, -1, 1) a (1, -1, 1).
  2. De (1, -1, 1) a (1, 1, 1).
  3. De (1, 1, 1) a (-1, 1, 1).
  4. De (-1, 1, 1) a (-1, -1, 1).
Vamos parametrizar cada segmento separadamente.
Segmento 1: De (-1, -1, 1) a (1, -1, 1)
r1(t) = (t, -1, 1), t in [-1, 1]
Segmento 2: De (1, -1, 1) a (1, 1, 1)
r2(t) = (1, t, 1), t in [-1, 1]
Segmento 3: De (1, 1, 1) a (-1, 1, 1)
r3(t) = (t, 1, 1), t in [1, -1]
Segmento 4: De (-1, 1, 1) a (-1, -1, 1)
r4(t) = (-1, t, 1), t in [1, -1]

Passo 5

Vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot d r somando as integrais de cada segmento.
ointpartial S F cdot d r = integralr1 F cdot d r + integralr2 F cdot d r + integralr3 F cdot d r + integralr4 F cdot d r
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Integral no Segmento 1:
r1(t) = (t, -1, 1) Rightarrow d r1 = (dt, 0, 0)
Substituindo em F:
F(r1(t)) = (t cdot (-1) cdot 1, t cdot (-1), t^2 cdot (-1) cdot 1) = (-t, -t, -t^2)
Calculando F cdot d r:
F cdot d r = (-t) cdot dt + (-t) cdot 0 + (-t^2) cdot 0 = -t , dt
Integrando de t = -1 a t = 1:
integral-1^1 -t , dt = -[ t^22 ]-1^1 = -( 12 - 12 ) = 0
Integral no Segmento 2:
r2(t) = (1, t, 1) Rightarrow d r2 = (0, dt, 0)
Substituindo em F:
F(r2(t)) = (1 cdot t cdot 1, 1 cdot t, 1^2 cdot t cdot 1) = (t, t, t)
Calculando F cdot d r:
F cdot d r = t cdot 0 + t cdot dt + t cdot 0 = t , dt
Integrando de t = -1 a t = 1:
integral-1^1 t , dt = [ t^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Integral no Segmento 3:
r3(t) = (t, 1, 1) Rightarrow d r3 = (dt, 0, 0)
Substituindo em F:
F(r3(t)) = (t cdot 1 cdot 1, t cdot 1, t^2 cdot 1 cdot 1) = (t, t, t^2)
Calculando F cdot d r:
F cdot d r = t cdot dt + t cdot 0 + t^2 cdot 0 = t , dt
Integrando de t = 1 a t = -1:
integral1^-1 t , dt = -integral-1^1 t , dt = -0 = 0
Integral no Segmento 4:
r4(t) = (-1, t, 1) Rightarrow d r4 = (0, dt, 0)
Substituindo em F:
F(r4(t)) = (-1 cdot t cdot 1, -1 cdot t, (-1)^2 cdot t cdot 1) = (-t, -t, t)
Calculando F cdot d r:
F cdot d r = (-t) cdot 0 + (-t) cdot dt + t cdot 0 = -t , dt
Integrando de t = 1 a t = -1:
integral1^-1 -t , dt = integral-1^1 t , dt = 0

Resposta

Somando todas as integrais dos segmentos, temos:
ointpartial S F cdot d r = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Portanto,
integral duplaS rot F cdot d S = 0

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