Resolva as equações:
z^{6}+7 z^{3}-8=0

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação polinomial z^{6}+7 z^{3}-8=0, ou seja, encontrar todos os complexos z que satisfazem essa igualdade. Informações dadas:
  • A incógnita é z (complexa, em geral).
  • A equação envolve apenas potências de z múltiplas de 3: z^{6}, z^{3} e termo constante -8.
    O objetivo é listar todas as soluções distintas z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Observação útil (técnica de redução): como só aparecem z^{6} e z^{3}, faz sentido fazer a substituição auxiliar
w = z^{3}.
Com isso a equação vira um polinômio quadrático em w. Substituindo:
w^{2}+7w-8=0.
Agora resolvemos esse quadrático em w.

Passo 3

Resolver w^{2}+7w-8=0 pelo método clássico (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = 7^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=49+32=81.
Como \Delta=81 é um quadrado perfeito, as raízes são
w=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{-7\pm9}{2}.
Portanto
w_{1}=\frac{-7+9}{2}=1,\qquad w_{2}=\frac{-7-9}{2}=-8.

Passo 4

Voltando à variável z, obtemos duas equações cúbicas separadas:
\text{(A)}\quad z^{3}=1, \qquad \text{(B)}\quad z^{3}=-8.
Cada uma fornece três raízes (contando multiplicidades) no plano complexo. Vamos resolver cada uma usando a forma polar e a fórmula dos radicais complexos (De Moivre).

Passo 5

Resolver z^{3}=1. Escrever 1 na forma polar: 1=1\cdot e^{i(2\pi m)} para m\in\mathbb{Z}. As raízes cúbicas são dadas por
z = 1^{1/3} e^{i(2\pi m)/3}=e^{i(2\pi m)/3},\qquad m=0,1,2.
Calculando explicitamente:
  • Para m=0: z= e^{0}=1.
  • Para m=1: z= e^{i2\pi/3}=\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para m=2: z= e^{i4\pi/3}=\cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Resolver z^{3}=-8. Escrever -8 em forma polar: -8=8e^{i(\pi+2\pi n)} para n\in\mathbb{Z}. A magnitude é 8, logo a raiz cúbica da magnitude é 8^{1/3}=2. As raízes cúbicas são
z = 2\,e^{i(\pi+2\pi n)/3},\qquad n=0,1,2.
Calculemos os três valores (tomando os argumentos principais):
  • Para n=0: ângulo \dfrac{\pi}{3}, então z=2e^{i\pi/3}=2\left(\cos\!\tfrac{\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{\pi}{3}\right) =2\left(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}.
  • Para n=1: ângulo \dfrac{\pi+2\pi}{3}=\pi, então z=2e^{i\pi}=2(\cos\pi + i\sin\pi)=2(-1+0i)=-2.
  • Para n=2: ângulo \dfrac{\pi+4\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}, então z=2e^{i5\pi/3}=2\left(\cos\!\tfrac{5\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{5\pi}{3}\right) =2\left(\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}.

Passo 7

Juntando todas as raízes encontradas (três de z^{3}=1 e três de z^{3}=-8), temos as seis soluções distintas da equação original:
1,\quad -\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad -\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad -2,\quad 1+i\sqrt{3},\quad 1-i\sqrt{3}.

Resposta

1
-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}
-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}
-2
1+i\sqrt{3}
1-i\sqrt{3}

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