Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação polinomial
, ou seja, encontrar todos os complexos
que satisfazem essa igualdade. Informações dadas:
- A incógnita é
(complexa, em geral). - A equação envolve apenas potências de
múltiplas de 3: , e termo constante .
O objetivo é listar todas as soluções distintas.
Passo 2
Observação útil (técnica de redução): como só aparecem
e
, faz sentido fazer a substituição auxiliar
Com isso a equação vira um polinômio quadrático em
. Substituindo:
Agora resolvemos esse quadrático em
.
Passo 3
Resolver
pelo método clássico (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
Como
é um quadrado perfeito, as raízes são
Portanto
Passo 4
Voltando à variável
, obtemos duas equações cúbicas separadas:
Cada uma fornece três raízes (contando multiplicidades) no plano complexo. Vamos resolver cada uma usando a forma polar e a fórmula dos radicais complexos (De Moivre).
Passo 5
Resolver
. Escrever
na forma polar:
para
. As raízes cúbicas são dadas por
Calculando explicitamente:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Resolver
. Escrever
em forma polar:
para
. A magnitude é
, logo a raiz cúbica da magnitude é
. As raízes cúbicas são
Calculemos os três valores (tomando os argumentos principais):
- Para
: ângulo , então - Para
: ângulo , então - Para
: ângulo , então
Passo 7
Juntando todas as raízes encontradas (três de
e três de
), temos as seis soluções distintas da equação original: