Resolva as equações:
z^{2}-(3-2 i) z+5-5 i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática complexa
z^{2}-(3-2 i) z+5-5 i=0.
Ou seja, encontrar todos os números complexos z que satisfazem a equação. As informações dadas são exatamente os coeficientes do polinômio: o termo quadrático, o termo linear e o termo independente.

Passo 2

Vamos usar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para equações quadráticas. Para uma equação geral
a z^{2}+b z+c=0
as raízes são dadas por
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes (podem ser complexos) e \Delta é o discriminante. Aqui:
a=1,\qquad b=-(3-2i)=-3+2i,\qquad c=5-5i.
Explicando: a é o coeficiente de z^{2}, b é o coeficiente de z e c é o termo independente. Não importa que sejam complexos: a fórmula vale da mesma forma.

Passo 3

Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac. Primeiro b^{2}:
b^{2}=(-3+2i)^{2}=(-3)^{2}+2\cdot(-3)\cdot(2i)+(2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.
Em seguida 4ac:
4ac=4\cdot1\cdot(5-5i)=20-20i.
Portanto
\Delta=(5-12i)-(20-20i)=-15+8i.

Passo 4

Precisamos calcular \sqrt{\Delta}, ou seja uma raiz quadrada de \Delta=-15+8i. Para achar \sqrt{a+bi} é útil fazer assim: procuramos u+vi tal que
(u+vi)^{2}=a+bi.
Isto dá o sistema real
u^{2}-v^{2}=a,\qquad 2uv=b.
Também é útil a relação
u^{2}+v^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
porque (u^{2}+v^{2})^{2}=(u^{2}-v^{2})^{2}+(2uv)^{2}=a^{2}+b^{2}.
Aqui a=-15 e b=8. Calculemos r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(-15)^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.
Então
u^{2}=\frac{r+a}{2}=\frac{17+(-15)}{2}=\frac{2}{2}=1,
v^{2}=\frac{r-a}{2}=\frac{17-(-15)}{2}=\frac{32}{2}=16.
Portanto u=\pm1 e v=\pm4. Para decidir os sinais usamos 2uv=b=8. Se escolhermos u=1 e v=4 obtemos 2\cdot1\cdot4=8, que confere; se escolhermos os dois negativos também 2(-1)(-4)=8. Logo as duas raízes quadradas são
\sqrt{\Delta}=\pm(1+4i).
Verificação rápida: (1+4i)^{2}=1-16+8i=-15+8i, ok.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula das raízes. Lembrando que -b=3-2i (pois b=-3+2i) e 2a=2:
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-2i\pm(1+4i)}{2}.
Calculemos as duas opções:
  1. Com o sinal +:
z_{1}=\frac{3-2i+(1+4i)}{2}=\frac{(3+1)+(-2i+4i)}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i.
  1. Com o sinal -:
z_{2}=\frac{3-2i-(1+4i)}{2}=\frac{(3-1)+(-2i-4i)}{2}=\frac{2-6i}{2}=1-3i.

Passo 6

Pequena checagem (opcional mas didática): se as raízes são 2+i e 1-3i, o polinômio fatoraria como
(z-(2+i))(z-(1-3i))=z^{2}-(3-2i)z+(5-5i),
o que corresponde exatamente ao polinômio do enunciado — sinal de consistência.

Resposta

z=2+i
z=1-3i

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