Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação quadrática complexa
Ou seja, encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação. As informações dadas são exatamente os coeficientes do polinômio: o termo quadrático, o termo linear e o termo independente.
Passo 2
Vamos usar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para equações quadráticas. Para uma equação geral
as raízes são dadas por
onde
,
e
são os coeficientes (podem ser complexos) e
é o discriminante. Aqui:
Explicando:
é o coeficiente de
,
é o coeficiente de
e
é o termo independente. Não importa que sejam complexos: a fórmula vale da mesma forma.
Passo 3
Calcular o discriminante
. Primeiro
:
Em seguida
:
Portanto
Passo 4
Precisamos calcular
, ou seja uma raiz quadrada de
. Para achar
é útil fazer assim: procuramos
tal que
Isto dá o sistema real
Também é útil a relação
porque
.
Aqui
e
. Calculemos
.
Então
Então
Portanto
e
. Para decidir os sinais usamos
. Se escolhermos
e
obtemos
, que confere; se escolhermos os dois negativos também
. Logo as duas raízes quadradas são
Verificação rápida:
, ok.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula das raízes. Lembrando que
(pois
) e
:
Calculemos as duas opções:
- Com o sinal
:
- Com o sinal
:
Passo 6
Pequena checagem (opcional mas didática): se as raízes são
e
, o polinômio fatoraria como
o que corresponde exatamente ao polinômio do enunciado — sinal de consistência.