Questão 17. Determine a série de Fourier das funções:
K(x)=|x|-\pi \leqslant x \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá a função K(x)=|x| definida em -\pi \leqslant x \leqslant \pi e pede: determinar a série de Fourier dessa função no intervalo [-\pi,\pi].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é K(x)=|x| para -\pi\le x\le\pi.
  • Quer-se a série de Fourier (a representação por soma de senos e cossenos) com período 2\pi associada a essa função nesse intervalo.
  • Não há outras restrições explícitas (assume-se a extensão periódica usual de período 2\pi).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da série de Fourier numa linguagem bem prática (isso é o que você deve saber na prova). Uma função f definida em [-\pi,\pi] tem, quando aplicável, a expansão
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicando rápido o porquê dessas fórmulas: os cossenos e senos formam uma base ortogonal em [- \pi,\pi]; multiplicando por \cos(nx) ou \sin(nx) e integrando, “isola-se” cada coeficiente pela ortogonalidade.
Antes de calcular, observe uma propriedade da função K(x)=|x|: ela é uma função par (isto é, K(-x)=K(x)). Deste fato seguem consequências úteis:
  • O produto de uma função par com \sin(nx) (que é ímpar) é ímpar; integral de função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Assim, todos os b_n são zero:
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
  • Os coeficientes a_n podem ser calculados reduzindo a integral a [0,\pi]: para função par,
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.
Isso simplifica bastante as contas.

Passo 3

Calcular a_0. Usamos a simetria para simplificar:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx.
Agora integramos x de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2}=\pi.
Na série, o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando a paridade:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Agora vamos calcular a integral
I_n=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Fazemos integração por partes (essa é uma técnica padrão: escolher u que simplifica ao derivar e dv que seja fácil de integrar). Escolha u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{n}\sin(nx). Aplicando a fórmula:
I_n=\left.x\cdot\frac{1}{n}\sin(nx)\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{1}{n}\sin(nx)\,dx.
O primeiro termo vale \dfrac{\pi}{n}\sin(n\pi)-0=0 porque \sin(n\pi)=0. Então
I_n=-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Compute a integral de \sin(nx):
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{1}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi}=-\frac{1}{n}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr)=-\frac{1}{n}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Substituindo em I_n:
I_n=-\frac{1}{n}\cdot\left(-\frac{1}{n}\bigl((-1)^{n}-1\bigr)\right)=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.
Portanto
a_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.

Passo 5

Simplificações importantes a partir da expressão de a_n:
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1, logo a_n=0.
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1, logo
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-1-1}{n^{2}}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{n^{2}}=-\frac{4}{\pi n^{2}}.
Assim apenas os termos com índices ímpares aparecem na soma (os pares têm coeficiente zero).
Substituindo tudo na série de Fourier (lembrando que b_n=0 e a_0/2=\pi/2), obtemos
|x|=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) =\frac{\pi}{2}+\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\left(-\frac{4}{\pi n^{2}}\right)\cos(nx).
Podemos reescrever somando apenas sobre n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots):
|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^{2}}.

Passo 6

Interpretação prática e convergência (dica de prova): a função K(x)=|x| é contínua em [- \pi,\pi] e tem derivadas com descontinuidades pontuais nos extremos da periodicidade; a série de Fourier acima converge uniformemente para |x| nesse intervalo e representa a extensão periódica de |x| de período 2\pi. Na prova, é comum pedir apenas a expressão dos coeficientes e a forma fechada da série (como apresentada).

Resposta

|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^{2}}.

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