Questão 17. Determine a série de Fourier das funções: K(x)=|x|-\pi \leqslant x \leqslant \pi
Passo 1
O enunciado dá a função K(x)=|x| definida em -\pi \leqslant x \leqslant \pi e pede: determinar a série de Fourier dessa função no intervalo [-\pi,\pi].
Informações relevantes fornecidas:
A função é K(x)=|x| para -\pi\le x\le\pi.
Quer-se a série de Fourier (a representação por soma de senos e cossenos) com período 2\pi associada a essa função nesse intervalo.
Não há outras restrições explícitas (assume-se a extensão periódica usual de período 2\pi).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da série de Fourier numa linguagem bem prática (isso é o que você deve saber na prova). Uma função f definida em [-\pi,\pi] tem, quando aplicável, a expansão
Explicando rápido o porquê dessas fórmulas: os cossenos e senos formam uma base ortogonal em [- \pi,\pi]; multiplicando por \cos(nx) ou \sin(nx) e integrando, “isola-se” cada coeficiente pela ortogonalidade.
Antes de calcular, observe uma propriedade da função K(x)=|x|: ela é uma função par (isto é, K(-x)=K(x)). Deste fato seguem consequências úteis:
O produto de uma função par com \sin(nx) (que é ímpar) é ímpar; integral de função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Assim, todos os b_n são zero:
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Os coeficientes a_n podem ser calculados reduzindo a integral a [0,\pi]: para função par,
Na série, o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{2}.
Passo 4
Calcular a_n para n\ge1. Usando a paridade:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Agora vamos calcular a integral
I_n=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Fazemos integração por partes (essa é uma técnica padrão: escolher u que simplifica ao derivar e dv que seja fácil de integrar). Escolha u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{n}\sin(nx). Aplicando a fórmula:
Interpretação prática e convergência (dica de prova): a função K(x)=|x| é contínua em [- \pi,\pi] e tem derivadas com descontinuidades pontuais nos extremos da periodicidade; a série de Fourier acima converge uniformemente para |x| nesse intervalo e representa a extensão periódica de |x| de período 2\pi. Na prova, é comum pedir apenas a expressão dos coeficientes e a forma fechada da série (como apresentada).