Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-5 z & =3 \\\ x+3 y & =1 \\\\ 2 x-y-5 z & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema abaixo: resolver por escalonamento (eliminação de Gauss) e classificar o sistema como SPD, SPI ou SI.
Deve-se usar escalonamento (operações elementares entre equações) para tentar obter solução ou detectar inconsistência.]
Passo 2
Breve lembrete do método (rápido e amigável): escalonamento consiste em escrever o sistema como matriz aumentada e usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular superior (escalonada). Cada linha corresponde a uma equação. Um pivô é o primeiro coeficiente não nulo de uma linha escalonada; ele serve para eliminar abaixo dele. Se, ao escalonar, aparecer uma linha do tipo 0= c com c\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução). Se não houver inconsistência e o número de pivôs for igual ao número de incógnitas temos solução única (SPD). Se não houver inconsistência e o número de pivôs for menor que o número de incógnitas temos infinitas soluções (SPI).
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (cada linha é uma equação; última coluna é o termo independente):
Escolha do pivô: é conveniente ter um 1 na primeira linha para facilitar as contas. Vamos trocar a linha 1 com a linha 2 (operação L_1\leftrightarrow L_2). Após a troca:
Interpretação da terceira linha: ela corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja
0 = -1.
Isto é uma contradição impossível. Quando, ao escalonar, surge uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente — não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Também dá para ver pela ideia de posto: a matriz dos coeficientes escalonada tem duas linhas não-nulas, logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada tem a terceira linha não-nula (porque o lado direito é -1), então \operatorname{rank}([A|b])=3. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é incompatível (sem solução).
Passo 8
Conclusão final (motivo da conclusão já mostrado): o escalonamento produziu uma equação contraditória 0=-1. Portanto o sistema não tem solução.