Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-5 z & =3 \\\ x+3 y & =1 \\\\ 2 x-y-5 z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema abaixo: resolver por escalonamento (eliminação de Gauss) e classificar o sistema como SPD, SPI ou SI.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} 3x+2y-5z=3\\[4pt] x+3y=1\\[4pt] 2x-y-5z=1 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • Há três incógnitas: x,y,z.
  • Há três equações lineares (escrito acima).
  • Deve-se usar escalonamento (operações elementares entre equações) para tentar obter solução ou detectar inconsistência.]

Passo 2

Breve lembrete do método (rápido e amigável): escalonamento consiste em escrever o sistema como matriz aumentada e usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular superior (escalonada). Cada linha corresponde a uma equação. Um pivô é o primeiro coeficiente não nulo de uma linha escalonada; ele serve para eliminar abaixo dele. Se, ao escalonar, aparecer uma linha do tipo 0= c com c\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução). Se não houver inconsistência e o número de pivôs for igual ao número de incógnitas temos solução única (SPD). Se não houver inconsistência e o número de pivôs for menor que o número de incógnitas temos infinitas soluções (SPI).

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (cada linha é uma equação; última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -5 & 3\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 2 & -1 & -5 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Escolha do pivô: é conveniente ter um 1 na primeira linha para facilitar as contas. Vamos trocar a linha 1 com a linha 2 (operação L_1\leftrightarrow L_2). Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -5 & 3\\[4pt] 2 & -1 & -5 & 1 \end{array}\right]
Aqui o pivô da primeira coluna é 1 (primeiro elemento da nova L_1).]

Passo 5

Eliminar abaixo do pivô (fazer zeros na coluna 1, linhas 2 e 3).
  • Para zerar a entrada em (2,1) fazemos L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1. Cálculo componente a componente:
    • Entrada (2,1): 3 - 3\cdot 1 = 0.
    • Entrada (2,2): 2 - 3\cdot 3 = 2 - 9 = -7.
    • Entrada (2,3): -5 - 3\cdot 0 = -5.
    • Termo independente: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Para zerar a entrada em (3,1) fazemos L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1. Cálculo:
    • Entrada (3,1): 2 - 2\cdot 1 = 0.
    • Entrada (3,2): -1 - 2\cdot 3 = -1 - 6 = -7.
    • Entrada (3,3): -5 - 2\cdot 0 = -5.
    • Termo independente: 1 - 2\cdot 1 = -1.
Depois dessas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -7 & -5 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -5 & -1 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora usamos o pivô da segunda linha, que é -7 (entrada (2,2)), para eliminar a entrada abaixo dele (linha 3, coluna 2).
Fazemos L_3 \leftarrow L_3 - L_2. Cálculo elemento a elemento:
  • Entrada (3,1): 0 - 0 = 0.
  • Entrada (3,2): -7 - (-7) = 0.
  • Entrada (3,3): -5 - (-5) = 0.
  • Termo independente: -1 - 0 = -1.
Assim a terceira linha torna-se [0\\\ 0\\\ 0\mid -1]. A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -7 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação da terceira linha: ela corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja
0 = -1.
Isto é uma contradição impossível. Quando, ao escalonar, surge uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente — não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Também dá para ver pela ideia de posto: a matriz dos coeficientes escalonada tem duas linhas não-nulas, logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada tem a terceira linha não-nula (porque o lado direito é -1), então \operatorname{rank}([A|b])=3. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 8

Conclusão final (motivo da conclusão já mostrado): o escalonamento produziu uma equação contraditória 0=-1. Portanto o sistema não tem solução.

Resposta

SI (sistema impossível; sem solução)

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