Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
e
são matrizes
inversíveis, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, e dependendo disso demonstrar ou dar contra-exemplo.
Afirmativa a verificar:
onde
,
e
são matrizes quadradas
invertíveis.
Informações dadas:
-
, e são todas invertíveis (logo existem , e ). - Quer-se saber se a igualdade acima vale sempre para matrizes invertíveis e justificar.
Passo 2
Relembrando definição e propriedades básicas (tipo aula rápida e amigável):
Definição de inversa: Para uma matriz quadrada
dizemos que
é invertível se existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade
.
Propriedade chave que usaremos (que também precisa ser entendida): a multiplicação de matrizes é associativa. Ou seja, para matrizes compatíveis,
Isso permite agrupar produtos sem mudar o resultado.
Uma consequência imediata (que vale provar mentalmente ou aceitar): se
e
são invertíveis então
Essa fórmula para dois fatores é a base para o caso de três fatores. No próximo passo eu demonstro essa igualdade de dois fatores, porque é a peça-chave.
Passo 3
Demonstração de
para matrizes invertíveis
.
Queremos mostrar que
é a inversa de
. Para isso basta verificar que o produto
e também
são iguais à identidade.
Calcule usando associatividade e as relações
e
:
E do outro lado:
Assim
é de fato a inversa à direita e à esquerda de
, logo
Passo 4
Aplicando a propriedade anterior ao produto de três matrizes.
Podemos enxergar
como o produto de duas matrizes, por exemplo
. Então, aplicando a fórmula de dois fatores à matriz
e
, obtemos
Mas já sabemos (do passo anterior) que
. Substituindo:
Aqui usei apenas associatividade para não precisar colocar parênteses extras. Para completar a demonstração de forma direta (verificando o papel de inversa), podemos também checar multiplicando explicitamente:
Verificação direta:
E do outro lado:
Portanto
é a inversa de
, o que demonstra a igualdade desejada.
Passo 5
Intuição e generalização curta (pra te deixar seguro na prova):
Intuição: multiplicar matrizes corresponde a compor transformações lineares. Se primeiro aplico
, depois
, depois
, para “desfazer” essa composição eu preciso aplicar as inversas na ordem contrária: primeiro
, depois
, depois
. Por isso a ordem dos fatores inverte ao tomar inversa.
Generalização: pelo mesmo raciocínio ou por indução, para matrizes invertíveis
vale
Passo 6
Exemplo numérico pequeno só para ver na prática (confere e acalma):
Escolha matrizes diagonais fáceis e invertíveis:
Então
e
Por outro lado
confere. Isso é só um cheque; a demonstração algébrica anterior é geral.]
Resposta
VERDADEIRA