Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A, B e C são matrizes n \times n inversíveis, então (A B C)^{-1}=C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, e dependendo disso demonstrar ou dar contra-exemplo.
Afirmativa a verificar:
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1},
onde A, B e C são matrizes quadradas n\times n invertíveis.
Informações dadas:
  • A, B e C são todas invertíveis (logo existem A^{-1}, B^{-1} e C^{-1}).
  • Quer-se saber se a igualdade acima vale sempre para matrizes invertíveis e justificar.

Passo 2

Relembrando definição e propriedades básicas (tipo aula rápida e amigável):
Definição de inversa: Para uma matriz quadrada M dizemos que M é invertível se existe uma matriz M^{-1} tal que
M M^{-1}=M^{-1}M=I,
onde I é a matriz identidade n\times n.
Propriedade chave que usaremos (que também precisa ser entendida): a multiplicação de matrizes é associativa. Ou seja, para matrizes compatíveis,
(M_1 M_2) M_3 = M_1 (M_2 M_3).
Isso permite agrupar produtos sem mudar o resultado.
Uma consequência imediata (que vale provar mentalmente ou aceitar): se X e Y são invertíveis então
(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.
Essa fórmula para dois fatores é a base para o caso de três fatores. No próximo passo eu demonstro essa igualdade de dois fatores, porque é a peça-chave.

Passo 3

Demonstração de (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1} para matrizes invertíveis X,Y.
Queremos mostrar que Y^{-1}X^{-1} é a inversa de XY. Para isso basta verificar que o produto (XY)(Y^{-1}X^{-1}) e também (Y^{-1}X^{-1})(XY) são iguais à identidade.
Calcule usando associatividade e as relações YY^{-1}=I e XX^{-1}=I:
(XY)(Y^{-1}X^{-1}) = X\,(Y Y^{-1})\,X^{-1} = X I X^{-1} = X X^{-1} = I.
E do outro lado:
(Y^{-1}X^{-1})(XY) = Y^{-1}\,(X^{-1}X)\,Y = Y^{-1} I Y = Y^{-1} Y = I.
Assim Y^{-1}X^{-1} é de fato a inversa à direita e à esquerda de XY, logo
(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.

Passo 4

Aplicando a propriedade anterior ao produto de três matrizes.
Podemos enxergar ABC como o produto de duas matrizes, por exemplo (AB)C. Então, aplicando a fórmula de dois fatores à matriz (AB) e C, obtemos
( (AB) C )^{-1} = C^{-1} (AB)^{-1}.
Mas já sabemos (do passo anterior) que (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. Substituindo:
(ABC)^{-1} = C^{-1} (AB)^{-1} = C^{-1} (B^{-1} A^{-1}) = C^{-1} B^{-1} A^{-1}.
Aqui usei apenas associatividade para não precisar colocar parênteses extras. Para completar a demonstração de forma direta (verificando o papel de inversa), podemos também checar multiplicando explicitamente:
Verificação direta:
(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) = A\bigl(B(C C^{-1})B^{-1}\bigr)A^{-1} = A\bigl(B I B^{-1}\bigr)A^{-1} = A(B B^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = I.
E do outro lado:
(C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC) = C^{-1}\bigl(B^{-1}(A^{-1}A)B\bigr)C = C^{-1}\bigl(B^{-1} I B\bigr)C = C^{-1}(B^{-1}B)C = C^{-1} I C = I.
Portanto C^{-1}B^{-1}A^{-1} é a inversa de ABC, o que demonstra a igualdade desejada.

Passo 5

Intuição e generalização curta (pra te deixar seguro na prova):
Intuição: multiplicar matrizes corresponde a compor transformações lineares. Se primeiro aplico A, depois B, depois C, para “desfazer” essa composição eu preciso aplicar as inversas na ordem contrária: primeiro C^{-1}, depois B^{-1}, depois A^{-1}. Por isso a ordem dos fatores inverte ao tomar inversa.
Generalização: pelo mesmo raciocínio ou por indução, para matrizes invertíveis M_1,M_2,\dots,M_k vale
(M_1 M_2\cdots M_k)^{-1} = M_k^{-1}\cdots M_2^{-1} M_1^{-1}.

Passo 6

Exemplo numérico pequeno só para ver na prática (confere e acalma):
Escolha matrizes diagonais fáceis e invertíveis:
A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Então
ABC=\begin{pmatrix}2\cdot3\cdot4&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
e
(ABC)^{-1}=\begin{pmatrix}1/24&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Por outro lado
C^{-1}B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1/4&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/3&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/24&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
confere. Isso é só um cheque; a demonstração algébrica anterior é geral.]

Resposta

VERDADEIRA

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