Seja f: R R dada por:
f(x)=ll 1, & se x in Q ; -1, & se x notin Q
Mostre que f não é contínua em R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, definida por:
f: R R
não é contínua em f(x)=ll 1, & se x in Q ; -1, & se x notin Q . Vamos usar os conceitos de continuidade e propriedades dos números racionais e irracionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em um ponto $ c $ se:
f
Isso quer dizer que o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ deve ser igual ao valor da função em $ c $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x) f(x) ú \mathbb{Q} Q ú \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $). Sabemos que entre quaisquer dois números reais, sempre existem números racionais e irracionais. Isso significa que, ao se aproximar de qualquer ponto $ c $ em $ \mathbb{R} $, podemos encontrar sequências de números racionais e irracionais que se aproximam de $ c $.

Passo 4

Vamos escolher um ponto $ c $ qualquer em $ \mathbb{R} $. Se formos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $, precisamos considerar todas as maneiras pelas quais $ x $ pode se aproximar de $ c $.
Se considerarmos uma sequência de números racionais se aproximando de $ c $, então $ f(x) = 1 $ para todos esses $ x $, e o limite será 1.
Agora, se considerarmos uma sequência de números irracionais se aproximando de $ c $, então $ f(x) = -1 $ para todos esses $ x $, e o limite será -1.

Passo 5

Para que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ exista, todos os caminhos de aproximação devem dar o mesmo resultado. No nosso caso, ao aproximar-se de $ c $ por números racionais, o limite é 1, e por números irracionais, o limite é -1. Como esses dois valores são diferentes, o limite f(x) não existe.

Passo 6

Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ não existe, isso significa que $ f(x) $ não é contínua em $ c $. Como escolhemos $ c $ de forma geral em $ \mathbb{R} $, a função $ f $ não é contínua em nenhum ponto de $ \mathbb{R} $.

Resposta

Portanto, a função $ f $ não é contínua em f .

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