Seja
dada por:
Mostre que
não é contínua em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, definida por:
não é contínua em
. Vamos usar os conceitos de continuidade e propriedades dos números racionais e irracionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em um ponto $ c $ se:
Isso quer dizer que o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ deve ser igual ao valor da função em $ c $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(x)
\mathbb{Q}
\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $). Sabemos que entre quaisquer dois números reais, sempre existem números racionais e irracionais. Isso significa que, ao se aproximar de qualquer ponto $ c $ em $ \mathbb{R} $, podemos encontrar sequências de números racionais e irracionais que se aproximam de $ c $.
Passo 4
Vamos escolher um ponto $ c $ qualquer em $ \mathbb{R} $. Se formos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $, precisamos considerar todas as maneiras pelas quais $ x $ pode se aproximar de $ c $.
Se considerarmos uma sequência de números racionais se aproximando de $ c $, então $ f(x) = 1 $ para todos esses $ x $, e o limite será 1.
Agora, se considerarmos uma sequência de números irracionais se aproximando de $ c $, então $ f(x) = -1 $ para todos esses $ x $, e o limite será -1.
Passo 5
Para que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ exista, todos os caminhos de aproximação devem dar o mesmo resultado. No nosso caso, ao aproximar-se de $ c $ por números racionais, o limite é 1, e por números irracionais, o limite é -1. Como esses dois valores são diferentes, o limite
não existe.
Passo 6
Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ não existe, isso significa que $ f(x) $ não é contínua em $ c $. Como escolhemos $ c $ de forma geral em $ \mathbb{R} $, a função $ f $ não é contínua em nenhum ponto de $ \mathbb{R} $.
Resposta
Portanto, a função $ f $ não é contínua em
.