Mostre que
não uniformemente contínua. (Sugestão: encontre duas sequências
tal que
, mas näo existe
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a função $ f(x) = x^{3} $ não é uniformemente contínua. Continuidade uniforme significa que a variação da função pode ser controlada de forma consistente em todo o domínio. Para provar que $ f(x) = x^3 $ não tem essa propriedade, vamos seguir a sugestão da questão: encontrar duas sequências de números reais $ (x_n) $ e $ (y_n) $ tais que, quando $ n $ cresce, a diferença entre $ x_n $ e $ y_n $ vai para zero, mas a diferença entre $ f(x_n) $ e $ f(y_n) $ não vai para zero. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Vamos construir duas sequências $ (x_n) $ e $ (y_n) $. Uma estratégia comum é definir $ y_n = x_n + \delta_n $, onde $ \delta_n $ é uma diferença que diminui conforme $ n $ aumenta. Aqui, vamos escolher $ x_n = n $ e $ y_n = n + \frac{1}{n} $. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar a primeira condição: que a diferença $ |x_n - y_n| $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito.
Quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n} $ fica cada vez menor e, no limite, tende a zero. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos analisar a diferença das imagens das sequências pela função $ f $:
Vamos expandir $ y_n^3 $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x_n) - f(y_n) $ quando $ n $ tende ao infinito:
Esse limite não é zero; ele tende para menos infinito. Portanto, a segunda condição está satisfeita: mesmo que $ |x_n - y_n| $ vá para zero, $ |f(x_n) - f(y_n)| $ não vai para zero.
Resposta
Assim, concluímos que a função $ f(x) = x^{3} $ não é uniformemente contínua.