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diferenciando implicitamente.
(Dica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada implícita juntos! A gente tem a função
e a dica nos diz que
. O conteúdo aqui envolve derivadas e funções trigonométricas. Vamos precisar saber como diferenciar funções trigonométricas e a raiz quadrada para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a dica que nos deu:
. Isso vai facilitar a diferencição. Então, nosso ponto de partida é:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então vamos precisar usar a regra da cadeia quando diferenciarmos o lado esquerdo.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada separadamente. Começando com a derivada de
:
Aqui, usamos a derivada da tangente, que é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
por causa da regra da cadeia.
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
Isso é só a aplicação da regra da potência, onde
.
Passo 6
Juntando as duas derivadas que calculamos:
Agora, nosso objetivo é isolar
.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Passo 8
Agora, queremos expressar tudo em termos de
. Sabemos que
. Como
, temos:
Passo 9
Substituindo isso de volta na expressão para
:
Resposta
A derivada
é: