Encontre d y / d x diferenciando implicitamente.
y=arctan raizx (Dica: tan y=raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada implícita juntos! A gente tem a função e a dica nos diz que . O conteúdo aqui envolve derivadas e funções trigonométricas. Vamos precisar saber como diferenciar funções trigonométricas e a raiz quadrada para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a dica que nos deu: tan y = raizx . Isso vai facilitar a diferencição. Então, nosso ponto de partida é:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a ddx (tan y) = ddx (raizx) . Lembre-se que é uma função de , então vamos precisar usar a regra da cadeia quando diferenciarmos o lado esquerdo.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada separadamente. Começando com a derivada de ddx (tan y) = sec^2 y cdot dydx :
Aqui, usamos a derivada da tangente, que é , e multiplicamos pela derivada de em relação a por causa da regra da cadeia.

Passo 5

Agora, vamos derivar ddx (raizx) = 12raizx :
Isso é só a aplicação da regra da potência, onde .

Passo 6

Juntando as duas derivadas que calculamos:
sec^2 y cdot dydx = 12raizx
Agora, nosso objetivo é isolar .

Passo 7

Vamos resolver para dydx = 12raizx cdot sec^2 y :

Passo 8

Agora, queremos expressar tudo em termos de sec^2 y = 1 + (raizx)^2 = 1 + x . Sabemos que . Como , temos:

Passo 9

Substituindo isso de volta na expressão para dydx = 12raizx cdot (1 + x) :

Resposta

A derivada dydx = 12raizx cdot (1 + x) é:

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