Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
d yd x=1+y^2x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos reorganizar a equação para que todas as expressões com fiquem de um lado e todas as com fiquem do outro lado. Para isso, vamos manipular a equação de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação diferencial:
dydx = 1 + y^2x
Nosso objetivo é separar as variáveis dy = 1 + y^2x , dx e dy1 + y^2 = dxx . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Em seguida, isolamos os termos que envolvem dividindo ambos os lados por :
Agora, as variáveis estão separadas, com de um lado e do outro.

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. Lembrando que:
integral 11 + y^2 , dy = arctan(y) + C
e
integral 1x , dx = ln|x| + C
Portanto, ao integrar, temos:
integral dy1 + y^2 = integral dxx
arctan(y) = ln|x| + C

Passo 4

Para encontrar y = tan(ln|x| + C) em termos de , aplicamos a função tangente dos dois lados da equação:
A constante representa a constante de integração e pode ser ajustada conforme necessário.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = tan(ln|x| + C)

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