Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos reorganizar a equação para que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as com
fiquem do outro lado. Para isso, vamos manipular a equação de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação diferencial:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Em seguida, isolamos os termos que envolvem
dividindo ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas, com
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. Lembrando que:
e
Portanto, ao integrar, temos:
Passo 4
Para encontrar
em termos de
, aplicamos a função tangente dos dois lados da equação:
A constante
representa a constante de integração e pode ser ajustada conforme necessário.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: