Com relação às edos exatas da forma M(x, y) d x+N(x, y) d y=0:
(b) O fato de uma edo ser exata implica no que?

Passo 1

A questão trata de EDOs exatas da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. O conteúdo é definição de exatidão de uma forma diferencial e a condição de existência de uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Por definição, dizemos que a forma M,dx + N,dy é exata se existe uma função Psi(x,y) tal que dPsi = M,dx + N,dy. Isso implica que
partial Psipartial x = M(x,y), partial Psipartial y = N(x,y)

Passo 3

Como supomos que Psi é de classe C^2, os derivadas mistas são iguais, o que leva à condição de integrabilidade
partial Mpartial y = partialpartial yl(partial Psipartial xr) = partialpartial xl(partial Psipartial yr) = partial Npartial x

Resposta

Que partial Mpartial y = partial Npartial x.

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