Resolva:
Se f(x)=\frac{x^{2}-x}{x-1} e g(x)=x é verdadeiro que f=g ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas expressões:
  • f(x)=\dfrac{x^{2}-x}{x-1}
  • g(x)=x
A pergunta é: é verdadeiro que f=g? Ou seja, as duas funções são iguais? Vou listar as informações importantes que temos:
  • A expressão de f é uma função racional (fração de polinômios).
  • A expressão de g é a função identidade.
  • É preciso verificar igualdade de funções, o que envolve domínio e valores em cada ponto do domínio.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} o denominador não pode ser zero. Aqui o denominador é x-1. Logo:
x-1\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq1.
Portanto o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{1\} (todos os reais, exceto 1).

Passo 3

Fatorar o numerador de f. O numerador x^{2}-x tem fator comum x, então:
x^{2}-x = x(x-1).
Escrevendo f com essa fatoração:
f(x)=\frac{x(x-1)}{x-1}.

Passo 4

Cancelar o fator comum (x-1). Atenção: só se pode cancelar quando esse fator é diferente de zero; já sabemos do domínio que x\neq1. Para todo x com x\neq1 vale:
\frac{x(x-1)}{x-1}=x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} temos f(x)=x. Em símbolos:
\forall x\neq1:\; f(x)=x.

Passo 5

Verificar o valor (ou existência) em x=1. Pelo domínio, f(1) não existe (a expressão tem divisão por zero). Já g é g(x)=x, cuja definição usual tem domínio \mathbb{R} e, em particular, g(1)=1.

Passo 6

Relembrar o que significa duas funções serem iguais. Duas funções h e k são iguais se e somente se:
  1. Têm o mesmo domínio, e
  2. Para todo x nesse domínio, h(x)=k(x).
No nosso caso:
  • f tem domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • g (como normalmente entendida) tem domínio \mathbb{R}.
    Embora f(x)=g(x) para todo x\neq1, em x=1 a função f não está definida enquanto g(1)=1. Logo as condições para igualdade de funções não são satisfeitas.

Passo 7

Conclusão final e observação útil: f e g coincidem em todos os pontos de \mathbb{R}\setminus\{1\}, isto é, representam a mesma lei algébrica fora de x=1, mas não são a mesma função se considerarmos os domínios usuais. Se quisermos, podemos dizer que f é a restrição de g ao conjunto \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Resposta

Não. f(x)=x para todo x\neq1, mas f(1) não está definido enquanto g(1)=1; portanto f\neq g.

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