Resolva:
Se
e
é verdadeiro que
? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas expressões:
A pergunta é: é verdadeiro que
? Ou seja, as duas funções são iguais? Vou listar as informações importantes que temos:
- A expressão de
é uma função racional (fração de polinômios). - A expressão de
é a função identidade. - É preciso verificar igualdade de funções, o que envolve domínio e valores em cada ponto do domínio.
Passo 2
Determinar o domínio de
. Para uma função racional
o denominador não pode ser zero. Aqui o denominador é
. Logo:
Portanto o domínio de
é
(todos os reais, exceto
).
Passo 3
Fatorar o numerador de
. O numerador
tem fator comum
, então:
Escrevendo
com essa fatoração:
Passo 4
Cancelar o fator comum
. Atenção: só se pode cancelar quando esse fator é diferente de zero; já sabemos do domínio que
. Para todo
com
vale:
Portanto, para todo
temos
. Em símbolos:
Passo 5
Verificar o valor (ou existência) em
. Pelo domínio,
não existe (a expressão tem divisão por zero). Já
é
, cuja definição usual tem domínio
e, em particular,
.
Passo 6
Relembrar o que significa duas funções serem iguais. Duas funções
e
são iguais se e somente se:
- Têm o mesmo domínio, e
- Para todo
nesse domínio, .
No nosso caso:
-
tem domínio . -
(como normalmente entendida) tem domínio .
Emborapara todo , em a função não está definida enquanto . Logo as condições para igualdade de funções não são satisfeitas.
Passo 7
Conclusão final e observação útil:
e
coincidem em todos os pontos de
, isto é, representam a mesma lei algébrica fora de
, mas não são a mesma função se considerarmos os domínios usuais. Se quisermos, podemos dizer que
é a restrição de
ao conjunto
.
Resposta
Não.
para todo
, mas
não está definido enquanto
; portanto
.