Resolva:
\frac{d x}{d t}=x^{2}-1

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária
\frac{dx}{dt}=x^{2}-1.
Informações dadas:
\text{equação: }\frac{dx}{dt}=x^{2}-1,çã
não foi fornecida nenhuma condição inicial (portanto queremos a solução geral).
Também é relevante notar que podem existir soluções constantes (equilíbrios), pois se dx/dt=0 então x é constante. A resolução começa a partir dessas observações.

Passo 2

Encontrar soluções constantes (equilíbrios). Para uma solução constante x(t)=x_0 vale dx/dt=0, logo
x_0^{2}-1=0.
Resolvendo,
x_0^{2}=1\implies x_0=\pm 1.
Portanto existem as soluções constantes \;x(t)=1\; e \;x(t)=-1\;. Essas são soluções especiais que devemos listar no final.

Passo 3

Agora procuramos as soluções não-constantes. Como a equação é separável, colocamos os termos com x de um lado e com t do outro:
\frac{dx}{x^{2}-1}=dt.
Explicação rápida da técnica: “separar variáveis” significa escrever a diferencial de forma que dx multiplicado por uma função de x fique de um lado e dt do outro, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Procuramos A e B tais que
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x^{2}-1=(x-1)(x+1) obtemos
1=A(x+1)+B(x-1)=(A+B)x+(A-B).
Comparando coeficientes:
A+B=0,\qquad A-B=1.
Resolvendo: somando as duas equações dá 2A=1 então A=\tfrac{1}{2}. Como A+B=0 segue B=-\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right).
Agora integramos:
\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx =\frac{1}{2}\bigl(\ln|x-1|-\ln|x+1|\bigr)+C,
onde C é constante de integração. No lado direito tínhamos \int dt=t+C_1, reunindo as constantes teremos apenas uma constante arbitrária.

Passo 5

Continuando, escrevemos a igualdade obtida:
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=t+C.
Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=2t+2C\implies \left|\frac{x-1}{x+1}\right|=e^{2C}e^{2t}.
Absorvendo o sinal e a constante e^{2C} numa constante arbitrária C_2\in\mathbb{R} (pode ser positiva, negativa ou zero), podemos escrever sem valor absoluto:
\frac{x-1}{x+1}=C e^{2t},
onde C é uma constante real arbitrária. Agora resolvemos algebricamente para x:
x-1=C e^{2t}(x+1)\implies x-Ce^{2t}x=1+Ce^{2t}
x(1-Ce^{2t})=1+Ce^{2t}\implies x(t)=\frac{1+Ce^{2t}}{1-Ce^{2t}}.
Observações importantes: se C=0 obtemos x(t)=1 (já listado antes). A solução acima não cobre x(t)=-1 (essa ficou como solução constante separada). Além disso, para valores de t tais que 1-Ce^{2t}=0 a expressão tem denominaror zero — isso corresponde a uma singularidade (explosão vertical) da solução não-constante para certo instante t, dependendo de C.

Passo 6

Resumo e interpretação física/matemática curtinha para você poder aplicar na prova:
  • As soluções constantes (equilíbrios) são \;x(t)=1 e \;x(t)=-1.
  • As soluções não-constantes são dada por
x(t)=\frac{1+Ce^{2t}}{1-Ce^{2t}},
com C\in\mathbb{R} uma constante de integração. Lembre-se de verificar para o C escolhido quando ocorre 1-Ce^{2t}=0 (tempo de explosão). Se for pedido valor particular com condição inicial x(t_0)=x_0, você substitui t=t_0 e x=x_0 na expressão implícita \frac{x-1}{x+1}=C e^{2t} para determinar C.

Resposta

x(t)=1
x(t)=-1
x(t)=\dfrac{1+Ce^{2t}}{1-Ce^{2t}},\; C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados