Resolva:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para resolvê-la (encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade). Informação dada: a equação relaciona a derivada de
em relação a
com a função exponencial de
. Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método: observando a equação, dá para separar as variáveis
e
(colocar todas as dependências em
multiplicando
num lado e todas as dependências em
multiplicando
no outro). Explicando a ideia da separação de variáveis: quando a equação pode ser escrita na forma
(produto de função de
por função de
), a gente reescreve como
e integra ambos os lados. Aqui
é exatamente do tipo onde a separação é possível.
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente. Multiplicando ambos os lados por
e por
(operações algébricas válidas porque
para todo
), obtemos
A ideia é agora integrar ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 4
Integre cada lado. Lembre que a integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (apareceu ao integrar; podemos colocá-la no lado direito sem perda de generalidade).
Passo 5
Isolando
para obter a forma explícita, aplique o logaritmo natural (função inversa da exponencial). Como
, temos
Aqui é importante notar a restrição de domínio: o argumento do logaritmo precisa ser positivo, então a solução explícita só vale onde
. A constante
é qualquer número real que torne o domínio consistente com o intervalo de interesse.
Passo 6
Verificação rápida (checar sempre que puder na prova): derive a solução encontrada e veja se volta à equação original. Da solução
,
Por outro lado,
Como os dois lados coincidem, a solução está correta. Observação: não existe solução constante
porque isso exigiria
, o que é impossível (exponencial nunca é zero).
Passo 7
Exemplo prático: se a condição inicial fosse
, então substituindo em
com
e
dá
, logo
e a solução particular seria
, válida para
. Isso mostra como determinar
quando houver condição inicial.