Resolva:
\frac{d y}{d x}=e^{-y}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=e^{-y}
e pede para resolvê-la (encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade). Informação dada: a equação relaciona a derivada de y em relação a x com a função exponencial de -y. Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método: observando a equação, dá para separar as variáveis y e x (colocar todas as dependências em y multiplicando dy num lado e todas as dependências em x multiplicando dx no outro). Explicando a ideia da separação de variáveis: quando a equação pode ser escrita na forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=g(y)\,h(x) (produto de função de y por função de x), a gente reescreve como \displaystyle \frac{1}{g(y)}\,dy = h(x)\,dx e integra ambos os lados. Aqui \displaystyle \frac{d y}{d x}=e^{-y} é exatamente do tipo onde a separação é possível.

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente. Multiplicando ambos os lados por e^{y} e por dx (operações algébricas válidas porque e^{y}>0 para todo y), obtemos
e^{y}\,dy = dx.
A ideia é agora integrar ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 4

Integre cada lado. Lembre que a integral de e^{y} em relação a y é e^{y}, e a integral de 1 em relação a x é x. Portanto
\int e^{y}\,dy = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad e^{y} = x + C,
onde C é a constante de integração (apareceu ao integrar; podemos colocá-la no lado direito sem perda de generalidade).

Passo 5

Isolando y para obter a forma explícita, aplique o logaritmo natural (função inversa da exponencial). Como e^{y}=x+C, temos
y = \ln\bigl(x + C\bigr).
Aqui é importante notar a restrição de domínio: o argumento do logaritmo precisa ser positivo, então a solução explícita só vale onde \,x + C > 0. A constante C é qualquer número real que torne o domínio consistente com o intervalo de interesse.

Passo 6

Verificação rápida (checar sempre que puder na prova): derive a solução encontrada e veja se volta à equação original. Da solução y=\ln(x+C),
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+C}.
Por outro lado,
e^{-y}=e^{-\ln(x+C)}=\frac{1}{x+C}.
Como os dois lados coincidem, a solução está correta. Observação: não existe solução constante y(x)=y_0 porque isso exigiria 0=e^{-y_0}, o que é impossível (exponencial nunca é zero).

Passo 7

Exemplo prático: se a condição inicial fosse \,y(0)=0, então substituindo em e^{y}=x+C com x=0 e y=0 1 = 0 + C, logo C=1 e a solução particular seria y=\ln(x+1), válida para x>-1. Isso mostra como determinar C quando houver condição inicial.

Resposta

\displaystyle y(x)=\ln\bigl(x+C\bigr),\quad x+C>0.
\displaystyle \text{(Forma implícita: }e^{y}=x+C\text{)}í

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