Resolva:
\frac{d T}{d t}=-2(T-10)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d T}{d t} = -2\bigl(T-10\bigr)
e pede para resolver: isto é, encontrar a função T(t) que satisfaz essa igualdade para todas as t. Não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a solução geral que inclui uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação e escolha do método (sem jargões complicados): podemos separar as variáveis porque o lado direito é um produto de uma função de T por uma função de t (aqui apenas a constante -2). A ideia da separação de variáveis é reorganizar para termos todos os termos com T numa lado e todos os termos com t no outro, de modo que possamos integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Reescrevendo a equação para separar as variáveis:
\frac{dT}{dt} = -2\bigl(T-10\bigr)
passamos o fator \bigl(T-10\bigr) para o denominador do lado esquerdo e dt para o direito:
\frac{dT}{T-10} = -2\,dt.
Isto significa que estamos prontos para integrar ambos os lados: o lado esquerdo em T e o direito em t.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int \frac{dT}{T-10} = \int -2\,dt.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo: \int \frac{dT}{T-10} = \ln\bigl|T-10\bigr|. A integral do lado direito é -2t. Acrescentamos uma constante de integração C (apenas uma, pois uma constante é suficiente para representar a família de soluções). Assim:
\ln\bigl|T-10\bigr| = -2t + C.

Passo 5

Agora eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando exponencial:
\bigl|T-10\bigr| = e^{C} e^{-2t}.
A constante e^{C} é positiva, mas podemos absorver o sinal absoluto e o sinal numa constante real arbitrária C_1 (que pode ser positiva, negativa ou zero). Então escrevemos, de forma mais simples:
T-10 = C e^{-2t},
onde C é uma constante real qualquer. Finalmente isolamos T:
T(t)=10+Ce^{-2t}.

Passo 6

Interpretação e forma com condição inicial (útil para prova): se for dada uma condição inicial do tipo T(0)=T_{0}, então substituímos t=0 na solução para achar C:
T(0)=10+C e^{0}=10+C \implies C=T_{0}-10.
Logo, com condição inicial T(0)=T_{0},
T(t)=10+\bigl(T_{0}-10\bigr)e^{-2t}.
Comentário rápido: a solução tende para 10 quando t\to\infty, e o decaimento é exponencial com constante de taxa 2 (tempo característico \tau=\tfrac{1}{2}) — ou seja, a solução se aproxima de 10 rapidamente.

Resposta

T(t)=10+Ce^{-2t}
T(t)=10+\bigl(T(0)-10\bigr)e^{-2t}

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