Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve divisão por
, logo faz sentido apenas para . A solução será válida em intervalos onde não muda de sinal. - O objetivo é encontrar a solução geral
(contendo uma constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o lado direito para ver a forma da equação.
Portanto a equação fica
Reorganizando para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
, subtraímos
de ambos os lados:
Aqui
e
.
Explicando o que é isso (mini-aula): uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções de
. O método padrão é multiplicar toda a equação por um fator integrante
que transforma o lado esquerdo na derivada de
. Esse fator é dado por
Depois integra-se ambos os lados.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo,
Como multiplicar a equação por uma constante multiplicativa não altera a família de soluções (constante pode ser absorvida na constante de integração), podemos tomar para facilitar
(válido para
; o sinal absoluto pode ser acomodado na constante depois).
Multiplicando a equação por
:
Passo 4
Mostrar que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato, usando a regra do quociente ou produto,
Logo a equação multiplicada fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito usa
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
:
Essa é a solução geral, válida para
. A constante
é um número real arbitrário que determina uma solução particular.
Passo 7
Verificação rápida (confere que não houve erro): começando de
calcula-se a derivada. Usando regra do produto e
:
Agora calcule
, que coincide com
. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Método alternativo (útil para memorização): a equação também aceita a substituição
(isto é, procurar soluções do tipo
). Então
. Substituindo em
dá
, que simplifica para
. Integra-se
para obter
e então
, resultando novamente em
. Esse caminho é mais curto e muito prático em prova quando aparece a combinação
.