Resolva:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+y}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve divisão por x, logo faz sentido apenas para x\neq0. A solução será válida em intervalos onde x não muda de sinal.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (contendo uma constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o lado direito para ver a forma da equação.
\frac{2 x+y}{x}=2+\frac{y}{x}.
Portanto a equação fica
\frac{d y}{d x}=2+\frac{y}{x}.
Reorganizando para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), subtraímos \dfrac{y}{x} de ambos os lados:
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x}y=2.
Aqui P(x)=-\dfrac{1}{x} e Q(x)=2.
Explicando o que é isso (mini-aula): uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. O método padrão é multiplicar toda a equação por um fator integrante \mu(x) que transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(x)y. Esse fator é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Depois integra-se ambos os lados.

Passo 3

Calcular o fator integrante para P(x)=-\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(-\ln|x|\right).
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo,
\exp\!\left(-\ln|x|\right)=\frac{1}{|x|}.
Como multiplicar a equação por uma constante multiplicativa não altera a família de soluções (constante pode ser absorvida na constante de integração), podemos tomar para facilitar \mu(x)=\dfrac{1}{x} (válido para x\neq0; o sinal absoluto pode ser acomodado na constante depois).
Multiplicando a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x}:
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y=\frac{2}{x}.

Passo 4

Mostrar que o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{y}{x}. De fato, usando a regra do quociente ou produto,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y.
Logo a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{2}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é \dfrac{y}{x}. A integral do lado direito usa \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|. Assim
\frac{y}{x}=2\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y:
y=x\left(2\ln|x|+C\right)=2x\ln|x|+Cx.
Essa é a solução geral, válida para x\neq0. A constante C é um número real arbitrário que determina uma solução particular.

Passo 7

Verificação rápida (confere que não houve erro): começando de
y=2x\ln|x|+Cx,
calcula-se a derivada. Usando regra do produto e \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}:
\frac{dy}{dx}=2\ln|x|+2 + C.
Agora calcule \dfrac{2x+y}{x}=2+\dfrac{y}{x}=2+\bigl(2\ln|x|+C\bigr)=2\ln|x|+2+C, que coincide com \dfrac{dy}{dx}. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Método alternativo (útil para memorização): a equação também aceita a substituição v=\dfrac{y}{x} (isto é, procurar soluções do tipo y=xv). Então dy/dx=v+x\,dv/dx. Substituindo em \dfrac{dy}{dx}=2+\dfrac{y}{x} v+x\,\dfrac{dv}{dx}=2+v, que simplifica para x\,\dfrac{dv}{dx}=2. Integra-se \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{2}{x} para obter v=2\ln|x|+C e então y=xv, resultando novamente em y=2x\ln|x|+Cx. Esse caminho é mais curto e muito prático em prova quando aparece a combinação y/x.

Resposta

y=2x\ln|x|+Cx

Exercícios relacionados