Resolva:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0.
O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação (isto é, uma relação entre x e y que contenha uma constante arbitrária). Vou listar as informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve x, y, dx e dy.
  • É uma equação de primeira ordem (apenas dy e dx aparecem).
  • Não foi dada condição inicial — então vamos buscar a solução geral com uma constante de integração.
    Observação importante: em alguns passos vou dividir por x, então vou implicitamente assumir x\neq0 nesse processo (depois comentamos sobre esse caso).

Passo 2

Primeiro passo prático: passar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots. A partir de
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0
temos
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx=2xy\,dy.
Dividindo ambos os lados por dx e por 2xy (assumindo x\neq0 e y possivelmente não zero), obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}.

Passo 3

Note que o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso sugere usar a substituição
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Explicando a técnica: quando a equação depende só de y/x, a substituição y=vx transforma a equação em uma em v e x; isso frequentemente leva a uma equação separável. Também precisamos da derivada de y:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx},
porque derivando y=v(x)\,x pelo produto obtemos exatamente isso (a derivada de v(x) é dv/dx).

Passo 4

Substituindo \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} e y=vx na expressão obtida em

Passo 5

v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{2x(vx)}.
No lado direito simplificamos:
\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{2x(vx)}=\frac{x^{2}(1+v^{2})}{2v x^{2}}=\frac{1+v^{2}}{2v}.
Portanto a equação fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^{2}}{2v}.
Isolando x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^{2}}{2v}-v.
Fazendo a subtração no lado direito com denominador 2v:
\frac{1+v^{2}}{2v}-v=\frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v}=\frac{1-v^{2}}{2v}.
Assim
\frac{dv}{dx}=\frac{1-v^{2}}{2v\,x}.

Passo 6

A equação para v é separável. Reescrevemos agrupando termos de v num lado e de x no outro:
\frac{2v}{1-v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explicando a separação: multiplicou-se ambos os lados por \dfrac{2v}{1-v^{2}} e por dx, ficando uma integral apenas em v à esquerda e em x à direita.

Passo 7

Agora integramos ambos os lados. À esquerda temos
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv.
Faça a substituição u=1-v^{2}, então du=-2v\,dv. Assim
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+C_1=-\ln|1-v^{2}|+C_1.
À direita
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando e juntando as constantes ( C=C_2-C_1) obtemos
-\ln|1-v^{2}|=\ln|x|+C.

Passo 8

Resolver para v. Podemos reescrever:
\ln|1-v^{2}|=-\ln|x|+C.
Exponenciando (e absorvendo e^{C} numa constante arbitrária K):
|1-v^{2}|=K\frac{1}{|x|}.
Para simplificar a notação e permitir sinais, introduzimos uma constante real arbitrária C (que pode ser positiva, negativa ou zero) e escrevemos
1-v^{2}=\frac{C}{x}.
Lembrando v=\dfrac{y}{x}, substituímos:
1-\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{C}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
x^{2}-y^{2}=Cx,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 9

Comentários finais e verificação rápida:
  • A solução implícita encontrada é \;x^{2}-y^{2}=Cx\;. Pode-se reorganizar para y^{2}=x^{2}-Cx se quiser a forma y=\pm\sqrt{x^{2}-Cx}, lembrando das restrições de sinal e domínio.
  • Observação sobre x=0: durante a substituição usamos \;v=y/x\; e portanto assumimos x\neq0. A solução implícita acima, para x=0, dá -y^{2}=0 então só o ponto (0,0) é compatível. Linhas verticais x\equiv0 não são soluções gerais.
  • As retas y=\pm x correspondem ao caso C=0 (pois x^{2}-y^{2}=0 implica y=\pm x), então estão incluídas na família de soluções.
  • Vale fazer uma verificação rápida: diferenciando implicitamente x^{2}-y^{2}=Cx e isolando dy/dx retorna a mesma expressão inicial, confirmando a consistência.

Resposta

x^{2}-y^{2}=Cx

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