Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação (isto é, uma relação entre
e
que contenha uma constante arbitrária). Vou listar as informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
, , e . - É uma equação de primeira ordem (apenas
e aparecem). - Não foi dada condição inicial — então vamos buscar a solução geral com uma constante de integração.
Observação importante: em alguns passos vou dividir por, então vou implicitamente assumir nesse processo (depois comentamos sobre esse caso).
Passo 2
Primeiro passo prático: passar a equação para a forma
. A partir de
temos
Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
e
possivelmente não zero), obtemos
Passo 3
Note que o lado direito depende apenas da razão
. Isso sugere usar a substituição
Explicando a técnica: quando a equação depende só de
, a substituição
transforma a equação em uma em
e
; isso frequentemente leva a uma equação separável. Também precisamos da derivada de
:
porque derivando
pelo produto obtemos exatamente isso (a derivada de
é
).
Passo 4
Substituindo
e
na expressão obtida em
Passo 5
No lado direito simplificamos:
Portanto a equação fica
Isolando
:
Fazendo a subtração no lado direito com denominador
:
Assim
Passo 6
A equação para
é separável. Reescrevemos agrupando termos de
num lado e de
no outro:
Explicando a separação: multiplicou-se ambos os lados por
e por
, ficando uma integral apenas em
à esquerda e em
à direita.
Passo 7
Agora integramos ambos os lados. À esquerda temos
Faça a substituição
, então
. Assim
À direita
Igualando e juntando as constantes (
) obtemos
Passo 8
Resolver para
. Podemos reescrever:
Exponenciando (e absorvendo
numa constante arbitrária
):
Para simplificar a notação e permitir sinais, introduzimos uma constante real arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero) e escrevemos
Lembrando
, substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 9
Comentários finais e verificação rápida:
- A solução implícita encontrada é
. Pode-se reorganizar para se quiser a forma , lembrando das restrições de sinal e domínio. - Observação sobre
: durante a substituição usamos e portanto assumimos . A solução implícita acima, para , dá então só o ponto é compatível. Linhas verticais não são soluções gerais. - As retas
correspondem ao caso (pois implica ), então estão incluídas na família de soluções. - Vale fazer uma verificação rápida: diferenciando implicitamente
e isolando retorna a mesma expressão inicial, confirmando a consistência.