Resolva:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Este é um problema de equação exata: queremos verificar se existe uma função potencial
tal que
Para resolver, vamos (1) checar exatidão, (2) encontrar
integrando e (3) escrever a solução implícita
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Como
, a forma é exata.
Passo 3
Por exatidão existe
com
.
Integramos em relação a , tratando
como constante:
Integramos em relação a
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e igualamos a :
e igualamos a
Integrando em
:
Passo 5
Logo a função potencial completa é
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
ou seja
para alguma constante
.