Resolva:
\frac{y}{x} d x+\left(y^{3}+\ln x\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{y}{x}\,dx + \bigl(y^{3} + \ln x\bigr)\,dy = 0
Este é um problema de equação exata: queremos verificar se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{y}{x}, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = y^{3} + \ln x.
Para resolver, vamos (1) checar exatidão, (2) encontrar F integrando e (3) escrever a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \displaystyle M(x,y)=\frac{y}{x} e N(x,y)=y^{3}+\ln x:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3} + \ln x\bigr) = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Por exatidão existe F(x,y) com \partial F/\partial x = y/x.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y) = \int \frac{y}{x}\,dx = y \int \frac{1}{x}\,dx = y\,\ln x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos \partial F/\partial y = \ln x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=y^{3}+\ln x:
\ln x + h'(y) = y^{3} + \ln x \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = y^{3}.
Integrando em y:
h(y) = \int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4} + \text{const}.

Passo 5

Logo a função potencial completa é
F(x,y) = y\,\ln x + \frac{y^{4}}{4},
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
F(x,y) = C,
ou seja
y\,\ln x + \frac{y^{4}}{4} = C,
para alguma constante C.

Resposta

y\,\ln x + \frac{y^{4}}{4} = C.

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