Verifique quais EDO’s são exatas. Em caso afirmativo, encontre a solução geral.
(2 x y+x) d x+\left(x^{2}+y\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(2xy + x)\,dx + (x^2 + y)\,dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo usado aqui é o de equações diferenciais exatas, que exige encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y),
onde M(x,y)=2xy + x e N(x,y)=x^2 + y.

Passo 2

Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + x) = 2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x = 2x em todo o domínio considerado, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 2xy + x.
Integramos em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (2xy + x)\,dx = x^2y + \frac{x^2}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a outra condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + h'(y) \overset{!}{=} x^2 + y.
Logo
h'(y) = y \quad\Rightarrow\quad h(y) = \frac{y^2}{2}.
Assim
\Phi(x,y) = x^2y + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y) = C,
isto é,
x^2y + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C.
Multiplicando por 2, uma forma equivalente é
2x^2y + x^2 + y^2 = C_1.

Resposta

x^2y + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} = C

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