Verifique quais EDO’s são exatas. Em caso afirmativo, encontre a solução geral.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo usado aqui é o de equações diferenciais exatas, que exige encontrar uma função potencial
tal que
onde
e
.
Passo 2
Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais:
Como
em todo o domínio considerado, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora usamos a outra condição
:
Logo
Assim
Passo 5
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
isto é,
Multiplicando por 2, uma forma equivalente é