Resolva por Gauss-Seidel, com quatro decimais, com arredondamento e \varepsilon \leq 0,005 o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 6 x-y+z=7 \\\ x+8 y-z=16 \\\ x+y+5 z=18 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear e pede que seja resolvido pelo método de Gauss–Seidel, com arredondamento a quatro casas decimais e critério de parada \varepsilon \le 0,005:
\left\{\begin{array}{l} 6x - y + z = 7,\\[4pt] x + 8y - z = 16,\\[4pt] x + y + 5z = 18. \end{array}\right.
O que é pedido explicitamente:
  • Aplicar Gauss–Seidel.
  • Arredondar cada valor a quatro casas decimais (usar arredondamento usual).
  • Parar quando o erro entre iterações satisfizer \varepsilon \le 0,005.
    As incógnitas são x,\;y,\;z e os coeficientes das equações são os mostrados acima.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e como vamos aplicá‑lo (sem pular etapas).
  • A ideia: reescrever cada equação isolando uma incógnita e iterar usando sempre os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Isso normalmente acelera a convergência em relação ao método de Jacobi.
  • Reescrevendo o sistema para isolar cada variável:
x=\frac{7+y-z}{6}, \qquad y=\frac{16-x+z}{8}, \qquad z=\frac{18-x-y}{5}.
Aqui x,y,z nesta fórmula significam os valores que iremos atualizar iteração a iteração. Notação de iteração: x^{(k)} é o valor de x na iteração k. Em Gauss–Seidel, ao calcular y^{(k)} usamos x^{(k)} recém-calculado, e assim por diante.
  • Critério de parada: vou usar como \varepsilon o máximo das diferenças absolutas entre as componentes em duas iterações consecutivas, isto é
\varepsilon^{(k)}=\max\big\{|x^{(k)}-x^{(k-1)}|,\;|y^{(k)}-y^{(k-1)}|,\;|z^{(k)}-z^{(k-1)}|\big\}.
Paro quando \varepsilon^{(k)}\le 0,005.
  • Sobre a convergência: a matriz de coeficientes é estritamente diagonalmente dominante (verificação rápida):
|6| > |-1|+|1| = 2,\quad |8| > |1|+|-1| = 2,\quad |5| > |1|+|1| = 2,
logo a convergência do método iterativo está garantida aqui.
  • Regra de arredondamento pedida: após calcular cada nova componente x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} vou arredondar imediatamente esse valor para quatro casas decimais e usar o valor arredondado nas contas seguintes (é o que o enunciado pede: “com quatro decimais, com arredondamento”).

Passo 3

Escolha da aproximação inicial e iteração k=1.
  • Escolho o palpite inicial padrão (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(0,0,0).
  • Iteração 1 ( k=1), calcular sequencialmente e arredondar cada valor a 4 casas.
Cálculo de x^{(1)}:
x^{(1)}=\frac{7+y^{(0)}-z^{(0)}}{6}=\frac{7+0-0}{6}=\frac{7}{6}=1{,}166666\ldots
Arredondando a 4 casas: x^{(1)}=1{,}1667.
Cálculo de y^{(1)}:
y^{(1)}=\frac{16-x^{(1)}+z^{(0)}}{8}=\frac{16-1{,}1667+0}{8}=\frac{14{,}8333}{8}=1{,}8541625
Arredondando a 4 casas: y^{(1)}=1{,}8542.
Cálculo de z^{(1)}:
z^{(1)}=\frac{18-x^{(1)}-y^{(1)}}{5}=\frac{18-1{,}1667-1{,}8542}{5}=\frac{14{,}9791}{5}=2{,}99582
Arredondando a 4 casas: z^{(1)}=2{,}9958.
Aproximação após k=1:
(x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})=(1{,}1667,\;1{,}8542,\;2{,}9958).
Diferenças em relação à iteração 0:
|x^{(1)}-x^{(0)}|=1{,}1667,\quad |y^{(1)}-y^{(0)}|=1{,}8542,\quad |z^{(1)}-z^{(0)}|=2{,}9958.
Logo \varepsilon^{(1)}=\max\{1{,}1667,1{,}8542,2{,}9958\}=2{,}9958>0{,}005. Continuar.

Passo 4

Iteração k=2.
Cálculo de x^{(2)} usando y^{(1)},z^{(1)}:
x^{(2)}=\frac{7+y^{(1)}-z^{(1)}}{6}=\frac{7+1{,}8542-2{,}9958}{6}=\frac{5{,}8584}{6}=0{,}9764
Arredondando a 4 casas: x^{(2)}=0{,}9764.
Cálculo de y^{(2)} usando x^{(2)},z^{(1)}:
y^{(2)}=\frac{16-x^{(2)}+z^{(1)}}{8}=\frac{16-0{,}9764+2{,}9958}{8}=\frac{18{,}0194}{8}=2{,}252425
Arredondando: y^{(2)}=2{,}2524.
Cálculo de z^{(2)} usando x^{(2)},y^{(2)}:
z^{(2)}=\frac{18-x^{(2)}-y^{(2)}}{5}=\frac{18-0{,}9764-2{,}2524}{5}=\frac{14{,}7712}{5}=2{,}95424
Arredondando: z^{(2)}=2{,}9542.
Aproximação após k=2:
(x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)})=(0{,}9764,\;2{,}2524,\;2{,}9542).
Diferenças em relação a k=1:
|x^{(2)}-x^{(1)}|=0{,}1903,\quad |y^{(2)}-y^{(1)}|=0{,}3982,\quad |z^{(2)}-z^{(1)}|=0{,}0416.
Logo \varepsilon^{(2)}=\max\{0{,}1903,0{,}3982,0{,}0416\}=0{,}3982>0{,}005. Continuar.

Passo 5

Iteração k=3.
Cálculo de x^{(3)} usando y^{(2)},z^{(2)}:
x^{(3)}=\frac{7+y^{(2)}-z^{(2)}}{6}=\frac{7+2{,}2524-2{,}9542}{6}=\frac{6{,}2982}{6}=1{,}0497
Arredondando: x^{(3)}=1{,}0497.
Cálculo de y^{(3)} usando x^{(3)},z^{(2)}:
y^{(3)}=\frac{16-x^{(3)}+z^{(2)}}{8}=\frac{16-1{,}0497+2{,}9542}{8}=\frac{17{,}9045}{8}=2{,}2380625
Arredondando: y^{(3)}=2{,}2381.
Cálculo de z^{(3)} usando x^{(3)},y^{(3)}:
z^{(3)}=\frac{18-x^{(3)}-y^{(3)}}{5}=\frac{18-1{,}0497-2{,}2381}{5}=\frac{14{,}7122}{5}=2{,}94244
Arredondando: z^{(3)}=2{,}9424.
Aproximação após k=3:
(x^{(3)},y^{(3)},z^{(3)})=(1{,}0497,\;2{,}2381,\;2{,}9424).
Diferenças em relação a k=2:
|x^{(3)}-x^{(2)}|=0{,}0733,\quad |y^{(3)}-y^{(2)}|=0{,}0143,\quad |z^{(3)}-z^{(2)}|=0{,}0118.
Logo \varepsilon^{(3)}=\max\{0{,}0733,0{,}0143,0{,}0118\}=0{,}0733>0{,}005. Ainda não chegou.

Passo 6

Iteração k=4.
Cálculo de x^{(4)} usando y^{(3)},z^{(3)}:
x^{(4)}=\frac{7+y^{(3)}-z^{(3)}}{6}=\frac{7+2{,}2381-2{,}9424}{6}=\frac{6{,}2957}{6}=1{,}0492833\ldots
Arredondando a 4 casas: x^{(4)}=1{,}0493.
Cálculo de y^{(4)} usando x^{(4)},z^{(3)}:
y^{(4)}=\frac{16-x^{(4)}+z^{(3)}}{8}=\frac{16-1{,}0493+2{,}9424}{8}=\frac{17{,}8931}{8}=2{,}2366375
Arredondando: y^{(4)}=2{,}2366.
Cálculo de z^{(4)} usando x^{(4)},y^{(4)}:
z^{(4)}=\frac{18-x^{(4)}-y^{(4)}}{5}=\frac{18-1{,}0493-2{,}2366}{5}=\frac{14{,}7141}{5}=2{,}94282
Arredondando: z^{(4)}=2{,}9428.
Aproximação após k=4:
(x^{(4)},y^{(4)},z^{(4)})=(1{,}0493,\;2{,}2366,\;2{,}9428).
Diferenças em relação a k=3:
|x^{(4)}-x^{(3)}|=|1{,}0493-1{,}0497|=0{,}0004,
|y^{(4)}-y^{(3)}|=|2{,}2366-2{,}2381|=0{,}0015,
|z^{(4)}-z^{(3)}|=|2{,}9428-2{,}9424|=0{,}0004.
Logo
\varepsilon^{(4)}=\max\{0{,}0004,0{,}0015,0{,}0004\}=0{,}0015.
Como \varepsilon^{(4)}=0{,}0015\le 0{,}005, o critério de parada foi satisfeito; podemos parar.

Resposta

x=1{,}0493
y=2{,}2366
z=2{,}9428

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