O enunciado nos dá o sistema linear e pede que seja resolvido pelo método de Gauss–Seidel, com arredondamento a quatro casas decimais e critério de parada \varepsilon \le 0,005:
\left\{\begin{array}{l} 6x - y + z = 7,\\[4pt] x + 8y - z = 16,\\[4pt] x + y + 5z = 18. \end{array}\right.
O que é pedido explicitamente:
Aplicar Gauss–Seidel.
Arredondar cada valor a quatro casas decimais (usar arredondamento usual).
Parar quando o erro entre iterações satisfizer \varepsilon \le 0,005.
As incógnitas são x,\;y,\;z e os coeficientes das equações são os mostrados acima.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel e como vamos aplicá‑lo (sem pular etapas).
A ideia: reescrever cada equação isolando uma incógnita e iterar usando sempre os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Isso normalmente acelera a convergência em relação ao método de Jacobi.
Aqui x,y,z nesta fórmula significam os valores que iremos atualizar iteração a iteração. Notação de iteração: x^{(k)} é o valor de x na iteração k. Em Gauss–Seidel, ao calcular y^{(k)} usamos x^{(k)} recém-calculado, e assim por diante.
Critério de parada: vou usar como \varepsilon o máximo das diferenças absolutas entre as componentes em duas iterações consecutivas, isto é
logo a convergência do método iterativo está garantida aqui.
Regra de arredondamento pedida: após calcular cada nova componente x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} vou arredondar imediatamente esse valor para quatro casas decimais e usar o valor arredondado nas contas seguintes (é o que o enunciado pede: “com quatro decimais, com arredondamento”).
Passo 3
Escolha da aproximação inicial e iteração k=1.
Escolho o palpite inicial padrão (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(0,0,0).
Iteração 1 (k=1), calcular sequencialmente e arredondar cada valor a 4 casas.