Determine \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+4}{(s-2)\left(s^{2}+5\right)}\right\}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos\n
  • Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s+4}{(s-2)\bigl(s^{2}+5\bigr)}\right\}.\n
  • Informação importante que temos: o numerador é de grau 1 e o denominador é de grau 3, com fatores lineares e quadráticos: um pólo em s=2 e um fator quadrático irreduzível s^{2}+5 (raízes s=\pm i\sqrt{5}).\n
  • O objetivo prático: escrever a função racional como soma de frações simples cujas inversas de Laplace são conhecidas (método de frações parciais) e então aplicar fórmulas básicas de transformada inversa.

Passo 2

Por que usar frações parciais e forma a adotar\n
  • Como a função é uma fração racional própria (grau numerador < grau denominador), frações parciais é o método natural.\n
  • Para o fator linear (s-2) usamos uma constante no numerador; para o quadrático irreduzível s^{2}+5 usamos um numerador linear. Assim assumimos a decomposição\n \frac{2s+4}{(s-2)(s^{2}+5)}=\frac{A}{s-2}+\frac{Bs+C}{s^{2}+5},\n
onde A,B,C são constantes reais a determinar. (Explicação curta: para cada fator linear usamos constante; para cada fator quadrático irreduzível usamos polinômio de grau um menor, i.e., linear.)

Passo 3

Montar a identidade algébrica e igualar coeficientes\n
  • Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s^{2}+5) obtemos a identidade (válida para todo s):\n 2s+4 = A(s^{2}+5)+(Bs+C)(s-2).\n
  • Expandir o lado direito passo a passo:\n A(s^{2}+5)=A s^{2}+5A,\n (Bs+C)(s-2)=Bs^{2}-2Bs+Cs-2C=(B)s^{2}+(-2B+C)s+(-2C).\n
  • Somando termos semelhantes:\n A(s^{2}+5)+(Bs+C)(s-2)=(A+B)s^{2}+(-2B+C)s+(5A-2C).\n
  • Agora igualamos coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 2s+4, que tem coeficiente de s^{2} igual a 0, de s igual a 2, e constante igual a 4. Assim obtemos o sistema:\n \begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -2B+C=2,\\[4pt] 5A-2C=4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para A,B,C (álgebra pura, passo a passo)\n
  • Da primeira equação A+B=0 segue\n B=-A.\n
  • Substituindo em -2B+C=2:\n -2(-A)+C=2 \quad\Rightarrow\quad 2A+C=2 \quad\Rightarrow\quad C=2-2A.\n
  • Substituindo C na terceira equação 5A-2C=4:\n 5A-2(2-2A)=4.\n
  • Desenvolvendo: 5A-4+4A=4 então 9A-4=4, portanto\n 9A=8 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{8}{9}.\n
  • Então\n B=-A=-\frac{8}{9}, \qquad C=2-2A=2-2\cdot\frac{8}{9}=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 5

Escrever a decomposição final e reorganizar termos\n
  • Substituindo A,B,C na decomposição:\n \frac{2s+4}{(s-2)(s^{2}+5)}=\frac{\tfrac{8}{9}}{s-2}+\frac{-\tfrac{8}{9}\,s+\tfrac{2}{9}}{s^{2}+5}.\n
  • Separando os termos no numerador do segundo quociente:\n \frac{2s+4}{(s-2)(s^{2}+5)}=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{8}{9}\cdot\frac{s}{s^{2}+5}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{s^{2}+5}.

Passo 6

Lembrar as transformadas inversas básicas usadas (aulas rápidas)\n
  • Fórmulas que vamos aplicar (válidas para t\ge0):\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at),\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).\n
Explicação das variáveis: a>0 é a constante que aparece em s^{2}+a^{2} ou em s-a; t é a variável de tempo da transformada inversa. No nosso caso s^{2}+5 significa a^{2}=5, então a=\sqrt{5}.

Passo 7

Aplicar as fórmulas termo a termo e simplificar\n
  • Aplicando a primeira fórmula:\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{s-2}\right\}=\frac{8}{9}e^{2t}.\n
  • Aplicando a segunda fórmula com a=\sqrt{5}:\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{8}{9}\cdot\frac{s}{s^{2}+5}\right\}=-\frac{8}{9}\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).\n
  • Aplicando a terceira fórmula:\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{s^{2}+5}\right\}=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)=\frac{2}{9\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).\n
  • Somando os três termos obtemos a função temporal completa:\n \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s+4}{(s-2)(s^{2}+5)}\right\}=\frac{8}{9}e^{2t}-\frac{8}{9}\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+\frac{2}{9\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{8}{9}e^{2t}-\frac{8}{9}\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+\frac{2}{9\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)

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