Determine \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}, \quad g(t)=\left\{\begin{array}{cc}3 t & , 0 \leq t<2 \\\\ 5 & , t \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \mathcal{L}\{g(t)\}\) para a função por partes \[g(t)=\begin{cases} 3t, & 0 \le t < 2,\\[4pt] 5, & t \ge 2. \end{cases}
Informações dadas:
  • Para 0\le t<2\] vale \(g(t)=3t.
  • Para t\ge 2 vale g(t)=5.
    A saída desejada é a transformada de Laplace \mathcal{L}\{g(t)\} em função de s. Vou assumir a condição usual de convergência \Re(s)>0.]

Passo 2

Usamos a definição integral da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-st}\,dt.
Como g(t) é por partes com quebra em t=2, dividimos a integral em dois trechos:
\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{2} 3t\,e^{-st}\,dt+\int_{2}^{\infty} 5\,e^{-st}\,dt.
Vou calcular cada integral separadamente e depois somar.

Passo 3

Calcular I_1=\int_{0}^{2} 3t\,e^{-st}\,dt.
Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t. Escolho
u=3t,\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=3\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando integração por partes:
I_1 = \Bigl.u v\Bigr|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} v\,du = \Bigl.-\frac{3t}{s}e^{-st}\Bigr|_{0}^{2} - \int_{0}^{2}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)3\,dt.
Avaliaremos termo a termo:
\Bigl.-\frac{3t}{s}e^{-st}\Bigr|_{0}^{2} = -\frac{3\cdot 2}{s}e^{-2s} - \bigl(0\bigr) = -\frac{6}{s}e^{-2s}.
E a integral restante:
- \int_{0}^{2}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)3\,dt = \frac{3}{s}\int_{0}^{2} e^{-st}\,dt.
Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{2} e^{-st}\,dt = \Bigl.-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr|_{0}^{2} = -\frac{1}{s}e^{-2s} + \frac{1}{s} = \frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).
Substituindo:
\frac{3}{s}\cdot\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr)=\frac{3}{s^{2}}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).
Somando com o termo inicial:
I_1 = -\frac{6}{s}e^{-2s} + \frac{3}{s^{2}}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).
Organizando os termos com e^{-2s}:
I_1 = \frac{3}{s^{2}} - e^{-2s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{3}{s^{2}}\Bigr).
Factorizando \dfrac{3}{s^{2}} fica
I_1 = \frac{3}{s^{2}}\Bigl(1-(2s+1)e^{-2s}\Bigr).

Passo 4

Calcular I_2=\int_{2}^{\infty} 5\,e^{-st}\,dt.
Esta é uma integral exponencial imprópria simples:
I_2 = 5\int_{2}^{\infty} e^{-st}\,dt = 5\Bigl.-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr|_{2}^{\infty}.
Para \Re(s)>0 o termo em t\to\infty vai a zero, então
I_2 = 5\Bigl(0 - \bigl(-\frac{1}{s}e^{-2s}\bigr)\Bigr) = \frac{5}{s}e^{-2s}.

Passo 5

Somamos I_1 e I_2:
\mathcal{L}\{g(t)\}=I_1+I_2 = \frac{3}{s^{2}} - e^{-2s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{3}{s^{2}}\Bigr) + \frac{5}{s}e^{-2s}.
Agrupando os termos com e^{-2s}:
-e^{-2s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{3}{s^{2}}\Bigr)+\frac{5}{s}e^{-2s} = -e^{-2s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{3}{s^{2}}-\frac{5}{s}\Bigr).
Calcule o conteúdo do parêntese (colocando denominador comum s^{2}):
\frac{6}{s}+\frac{3}{s^{2}}-\frac{5}{s} = \frac{6s+3-5s}{s^{2}}=\frac{s+3}{s^{2}}.
Portanto o coeficiente fica negativo:
-e^{-2s}\cdot\frac{s+3}{s^{2}} = -\frac{s+3}{s^{2}}e^{-2s}.
Finalmente,
\mathcal{L}\{g(t)\} = \frac{3}{s^{2}} - \frac{s+3}{s^{2}}e^{-2s} = \frac{3 - (s+3)e^{-2s}}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\}=\frac{3-(s+3)e^{-2s}}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0

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