Resolva \iint_{B} \frac{\sin (x-y)}{(y+x)^{2}} d x d y, onde B é o conjunto em que 1 \leq x+y \leq 2, x \geq 0 e y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{\sin(x-y)}{(y+x)^{2}}\,dx\,dy,
onde B é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem
1 \leq x+y \leq 2,\qquad x\ge 0,\qquad y\ge 0.
Informações relevantes dadas:
  • A região B está no primeiro quadrante ( x\ge 0,\\ y\ge 0).
  • A restrição principal da região é sobre a soma x+y: ela varia entre \;1 e \;2.
  • O integrando envolve as combinações x+y (no denominador) e x-y (no seno).

Passo 2

Observação útil (motivação para a mudança de variáveis):
\text{o integrando depende de }x+y\text{ e }x-y.
Isso sugere a mudança de variáveis
u = x+y,\qquad v = x-y.
Agora explico como expressar x e y em função de u e v (inversa da transformação). Somando e subtraindo as relações:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
É importante saber essas expressões porque precisamos reescrever a região e o integrando em termos de u e v.

Passo 3

Cálculo do jacobiano (o fator de escala ao trocar de variáveis):
Definição prática: o jacobiano J é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Com x=\tfrac{u+v}{2} e y=\tfrac{u-v}{2} temos
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{1}{2}.
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\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{vmatrix} = \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right)-\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2}.
O valor absoluto do jacobiano é \left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\tfrac{1}{2}. Portanto
dx\,dy = \frac{1}{2}\,du\,dv.
Explicação didática: esse fator \tfrac{1}{2} corrige a “densidade” da área ao trocar de coordenadas.]

Passo 4

Mapeamento da região B no plano (u,v):
Pelo próprio u definido, da condição da região temos diretamente
1 \le u \le 2.
As desigualdades x\ge 0 e y\ge 0 transformam-se em condições sobre v. Usando x=\tfrac{u+v}{2}\ge 0 e y=\tfrac{u-v}{2}\ge 0 obtemos
u+v \ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \ge -u,
u-v \ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \le u.
Portanto, para cada u fixo em [1,2] temos
-v\text{ variável com } -u \le v \le u.á
Resumo da região em (u,v):
\{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\; -u\le v\le u\}.

Passo 5

Reescrevendo o integrando e a integral em (u,v):
O integrando original é \dfrac{\sin(x-y)}{(x+y)^{2}}. Em termos de u,v isso fica
\frac{\sin(x-y)}{(x+y)^{2}} = \frac{\sin(v)}{u^{2}}.
Incluindo o jacobiano, o elemento de área vira \tfrac{1}{2}\,du\,dv. Assim a integral transforma-se em
\iint_{B}\frac{\sin(x-y)}{(x+y)^{2}}\,dx\,dy = \int_{u=1}^{2}\int_{v=-u}^{u} \frac{\sin(v)}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du.
Posso fatorar \tfrac{1}{2} e u^{-2} (que depende só de u) para integrar em v primeiro:
\int_{1}^{2}\frac{1}{2u^{2}}\left(\int_{-u}^{u}\sin(v)\,dv\right)du.

Passo 6

Cálculo da integral interna em v:
A função \sin(v) é ímpar, isto é, \sin(-v)=-\sin(v). Integrar uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-u,u] dá zero. Mais formalmente,
\int_{-u}^{u}\sin(v)\,dv = \big[-\cos(v)\big]_{-u}^{u} = -\cos(u)-\big(-\cos(-u)\big) = -\cos(u)+\cos(-u).
Como \cos(-u)=\cos(u), obtemos
\int_{-u}^{u}\sin(v)\,dv = -\cos(u)+\cos(u)=0.
Portanto, para todo u\in[1,2] a integral interna é zero.

Passo 7

Conclusão da integral dupla:
Substituindo o resultado do passo anterior na integral em u temos
\int_{1}^{2}\frac{1}{2u^{2}}\cdot 0\;du = 0.
Ou seja, a integral dupla sobre B é 0.

Resposta

0

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