Resolva \iint_{B} \frac{\sin (x-y)}{(y+x)^{2}} d x d y, onde B é o conjunto em que 1 \leq x+y \leq 2, x \geq 0 e y \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{\sin(x-y)}{(y+x)^{2}}\,dx\,dy,
onde B é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem
1 \leq x+y \leq 2,\qquad x\ge 0,\qquad y\ge 0.
Informações relevantes dadas:
•A região B está no primeiro quadrante (x\ge 0,\\ y\ge 0).
•A restrição principal da região é sobre a soma x+y: ela varia entre \;1 e \;2.
•O integrando envolve as combinações x+y (no denominador) e x-y (no seno).
Passo 2
Observação útil (motivação para a mudança de variáveis):
\text{o integrando depende de }x+y\text{ e }x-y.
Isso sugere a mudança de variáveis
u = x+y,\qquad v = x-y.
Agora explico como expressar x e y em função de u e v (inversa da transformação). Somando e subtraindo as relações:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
É importante saber essas expressões porque precisamos reescrever a região e o integrando em termos de u e v.
Passo 3
Cálculo do jacobiano (o fator de escala ao trocar de variáveis):
Definição prática: o jacobiano J é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
Cálculo da integral interna em v:
A função \sin(v) é ímpar, isto é, \sin(-v)=-\sin(v). Integrar uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-u,u] dá zero. Mais formalmente,