Calcule
, em que
é a região limitada pelas curvas
e a reta
, e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral dupla da função
sobre a região
limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas e o que devemos achar:\n
Informações dadas e o que devemos achar:\n
- As curvas são
e .\n - A função a integrar é
.\n - Precisamos calcular
, isto é, somar sobre toda a região .
Passo 2
A primeira coisa é entender bem a região
. Vamos achar as interseções entre
e
. Igualando:
Como
(pois
exige isso), elevando ao quadrado obtemos
logo
ou
. Portanto as curvas se intersectam em
e
.\n
Para saber qual é o ramo superior, observe que para vale
. Logo, na faixa
temos
Para saber qual é o ramo superior, observe que para
Assim podemos descrever a região
como
Passo 3
Agora vamos escrever a integral dupla como integral iterada. Como a região está descrita por
e
, temos (usando o teorema de Fubini / integração iterada)
Observação importante sobre
em
: a expressão tem forma indeterminada em
, mas o limite
. Podemos então considerar que a função é integrável na região, e no cálculo da integral iterada podemos tratar
como função contínua estendida em
por
. Isso evita problemas com a divisão por zero.
Passo 4
Fazendo a integral interna (em
), a integranda
é constante em
, então
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Separando em duas integrais:
Note que na segunda integral o
do numerador cancela com o
do denominador, dando simplesmente
.
Passo 5
Vamos tratar cada uma das duas integrais:\n
(1) Segunda integral (mais simples):
(1) Segunda integral (mais simples):
(2) Primeira integral:
Fazemos a substituição natural
(ou seja
). Então
e
. Substituindo:
Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Comentário didático: a integral
não tem primitiva elementar (é uma integral do tipo Fresnel), então a forma mais simples e exata de escrever a resposta simbólica é deixá-la como essa integral definida. Se quiser um número aproximado, pode-se calcular numericamente.
Passo 6
Juntando as duas partes temos o valor da integral dupla:
Se quisermos uma aproximação numérica rápida:
, então
e subtraindo
obtemos aproximadamente
.
Resposta
Aproximação: