Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y, em que B é a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e a reta y=x, e f(x, y)=\frac{\sin (x)}{x}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral dupla da função f(x,y)=\dfrac{\sin x}{x} sobre a região B limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x.\n
Informações dadas e o que devemos achar:\n
  • As curvas são y=\sqrt{x} e y=x.\n
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{\sin x}{x}.\n
  • Precisamos calcular \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy, isto é, somar f sobre toda a região B.

Passo 2

A primeira coisa é entender bem a região B. Vamos achar as interseções entre y=\sqrt{x} e y=x. Igualando:
x=\sqrt{x}.
Como x\ge 0 (pois \sqrt{x} exige isso), elevando ao quadrado obtemos
x^{2}=x \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0,
logo x=0 ou x=1. Portanto as curvas se intersectam em x=0 e x=1.\n
Para saber qual é o ramo superior, observe que para 0<x<1 vale \sqrt{x}>x. Logo, na faixa 0\le x\le1 temos
\text{curva superior: } y=\sqrt{x},\qquad \text{curva inferior: } y=x.
Assim podemos descrever a região B como
B=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x\le y\le \sqrt{x}\}.

Passo 3

Agora vamos escrever a integral dupla como integral iterada. Como a região está descrita por 0\le x\le1 e x\le y\le\sqrt{x}, temos (usando o teorema de Fubini / integração iterada)
\iint_{B}\frac{\sin x}{x}\,dx\,dy=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{\sqrt{x}}\frac{\sin x}{x}\,dy\right)dx.
Observação importante sobre \dfrac{\sin x}{x} em x=0: a expressão tem forma indeterminada em x=0, mas o limite \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Podemos então considerar que a função é integrável na região, e no cálculo da integral iterada podemos tratar \dfrac{\sin x}{x} como função contínua estendida em x=0 por 1. Isso evita problemas com a divisão por zero.

Passo 4

Fazendo a integral interna (em y), a integranda \dfrac{\sin x}{x} é constante em y, então
\int_{y=x}^{\sqrt{x}}\frac{\sin x}{x}\,dy=\frac{\sin x}{x}\big(\sqrt{x}-x\big).
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\iint_{B}\frac{\sin x}{x}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}\big(\sqrt{x}-x\big)\,dx.
Separando em duas integrais:
\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}\sqrt{x}\,dx-\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}x\,dx.
Note que na segunda integral o x do numerador cancela com o x do denominador, dando simplesmente \int_{0}^{1}\sin x\,dx.

Passo 5

Vamos tratar cada uma das duas integrais:\n
(1) Segunda integral (mais simples):
\int_{0}^{1}\sin x\,dx=[- \cos x]_{0}^{1}=1-\cos 1.
(2) Primeira integral:
\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}\sqrt{x}\,dx=\int_{0}^{1}x^{-1/2}\sin x\,dx.
Fazemos a substituição natural x=t^{2} (ou seja t=\sqrt{x}). Então dx=2t\,dt e x^{-1/2}=t^{-1}. Substituindo:
x^{-1/2}\sin x\,dx = t^{-1}\sin(t^{2})\cdot 2t\,dt = 2\sin(t^{2})\,dt.
Os limites: quando x=0 temos t=0; quando x=1 temos t=1. Assim
\int_{0}^{1}x^{-1/2}\sin x\,dx = 2\int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt.
Comentário didático: a integral \int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt não tem primitiva elementar (é uma integral do tipo Fresnel), então a forma mais simples e exata de escrever a resposta simbólica é deixá-la como essa integral definida. Se quiser um número aproximado, pode-se calcular numericamente.

Passo 6

Juntando as duas partes temos o valor da integral dupla:
\iint_{B}\frac{\sin x}{x}\,dx\,dy = 2\int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt - (1-\cos 1).
Se quisermos uma aproximação numérica rápida: \displaystyle\int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt\approx 0{,}310268, então
2\int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt\approx 0{,}620536
e subtraindo 1-\cos 1\approx 0{,}4596977 obtemos aproximadamente 0{,}16084.

Resposta

\displaystyle 2\int_{0}^{1}\sin(t^{2})\,dt - (1-\cos 1)\n
Aproximação: 0{,}16084

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