A região B é a metade superior de uma elipse centrada na origem, definida por 4x^{2}+y^{2}\le 1 e restrita a y\ge 0.
A função a ser integrada é e^{4x^{2}+y^{2}}.
A pergunta é o valor numérico da integral dupla sobre B.
Passo 2
Motivação para a mudança de variável: a equação 4x^{2}+y^{2}=1 é uma elipse; para simplificar a região, faço a transformação linear que “normaliza” a elipse em um círculo. Defino as variáveis
u=2x,\qquad v=y.
Assim a fronteira elíptica 4x^{2}+y^{2}=1 transforma-se em
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, um círculo unitário. Vou agora calcular a relação entre os elementos de área dx\,dy e du\,dv (o Jacobiano).
Passo 3
Cálculo do Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto (x,y). Como x=\dfrac{u}{2} e y=v, a matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora uso coordenadas polares em (u,v) porque D é um semicírculo. Faço
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi] (semicírculo superior). O elemento de área em coordenadas polares é du\,dv=r\,dr\,d\theta. A função e^{u^{2}+v^{2}} torna-se e^{r^{2}}. Substituindo, tenho