Calcule \iint_{B} e^{4 x^{2}+y^{2}} d x d y, onde (B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 x^{2}+y^{2} \leq 1\right. e)\left.y \geq 0\right}).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{B} e^{4x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde B é a região
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região B é a metade superior de uma elipse centrada na origem, definida por 4x^{2}+y^{2}\le 1 e restrita a y\ge 0.
  • A função a ser integrada é e^{4x^{2}+y^{2}}.
  • A pergunta é o valor numérico da integral dupla sobre B.

Passo 2

Motivação para a mudança de variável: a equação 4x^{2}+y^{2}=1 é uma elipse; para simplificar a região, faço a transformação linear que “normaliza” a elipse em um círculo. Defino as variáveis
u=2x,\qquad v=y.
Assim a fronteira elíptica 4x^{2}+y^{2}=1 transforma-se em
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, um círculo unitário. Vou agora calcular a relação entre os elementos de área dx\,dy e du\,dv (o Jacobiano).

Passo 3

Cálculo do Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto (x,y). Como x=\dfrac{u}{2} e y=v, a matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é \dfrac{1}{2}. Portanto
dx\,dy=\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv=\frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 4

Transformação da integral e da região. A região B em (u,v) vira
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\mid u^{2}+v^{2}\le 1,\; v\ge 0\},
isto é, o semicírculo superior de raio 1. A integranda e^{4x^{2}+y^{2}} fica
e^{4x^{2}+y^{2}}=e^{u^{2}+v^{2}}.
Com isso a integral original passa a ser
\iint_{B} e^{4x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\iint_{D} e^{u^{2}+v^{2}}\,du\,dv.

Passo 5

Agora uso coordenadas polares em (u,v) porque D é um semicírculo. Faço
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi] (semicírculo superior). O elemento de área em coordenadas polares é du\,dv=r\,dr\,d\theta. A função e^{u^{2}+v^{2}} torna-se e^{r^{2}}. Substituindo, tenho
\frac{1}{2}\iint_{D} e^{u^{2}+v^{2}}\,du\,dv = \frac{1}{2}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Cálculo da integral em r. Faço a substituição t=r^{2}. Então dt=2r\,dr, isto é, r\,dr=\dfrac{dt}{2}. Quando r vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim
\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr = \int_{t=0}^{1} e^{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\left(e^{1}-e^{0}\right) = \frac{1}{2}\left(e-1\right).
Portanto a integral completa vale
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{1}{2}\left(e-1\right)\right]d\theta = \frac{1}{4}\left(e-1\right)\int_{0}^{\pi} d\theta = \frac{1}{4}\left(e-1\right)\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\bigl(e-1\bigr)

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