Resolva a inequação:
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações que temos (explicitadas para não perder nada):
- A expressão do lado esquerdo é
. - A expressão do lado direito é
. - A incógnita é
(procuramos todos os reais que satisfazem a desigualdade). - Ambas as bases envolvidas são positivas para todo
(isto é importante para manipular potências com expoentes reais).
Passo 2
Primeira simplificação: usar a propriedade de potências
. Aplicando ao lado esquerdo:
Explicação da regra: quando uma potência está elevada a outra potência, multiplica-se os expoentes. Aqui
,
e
, então o expoente total é
.
Passo 3
Simplificar o lado direito:
. Então
Regra usada:
e
(aqui
, logo
).
Passo 4
Substituindo as simplificações na inequação obtemos
Agora, como a base
é maior que
, a função exponencial
é estritamente crescente. Portanto a desigualdade entre potências com base
(base
) é equivalente à desigualdade entre os expoentes:
Comentário didático: para bases maiores que
podemos “cancelar” a função exponencial mantendo o sentido da desigualdade; se a base fosse entre
e
(decrescente), o sentido inverteria.
Passo 5
Resolver a desigualdade entre expoentes. Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, então não inverte desigualdade):
Expandir ambos os lados:
Passar todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 6
Resolver a inequação quadrática
.
Primeiro fatorar ou encontrar raízes. Procuramos tais que
Primeiro fatorar ou encontrar raízes. Procuramos
A fatoração fica
pois
. Assim as raízes são
e
.
Agora interpretamos a desigualdade
. Como o coeficiente de
é positivo, o gráfico da parábola abre para cima; portanto o produto é não negativo quando
está fora do intervalo entre as raízes, e é zero nas raízes. Em termos de intervalos, isso significa que a expressão é
para
ou para
.
Breve explicação do método do sinal (útil na prova): marcado os pontos críticos
e
, testando um valor em cada região:
- Para
(por exemplo ) ambos os fatores e são negativos e seu produto é positivo. - Para
(por exemplo ) os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo. - Para
(por exemplo ) ambos os fatores são positivos e o produto é positivo.
Como queremos, mantemos as regiões onde o produto é positivo e também os pontos onde é zero ( e ).
Passo 7
Verificação rápida das fronteiras (dica para a prova): em
e
as potências originais existem e a desigualdade fica
, ou seja igualdade — portanto os pontos devem ser incluídos.