Resolva a inequação:
\left(3^{\frac{x}{2}}\right)^{x-1} \geq\left(\frac{3}{9}\right)^{x-3}

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\left(3^{\frac{x}{2}}\right)^{x-1} \geq \left(\frac{3}{9}\right)^{x-3}.
Informações que temos (explicitadas para não perder nada):
  • A expressão do lado esquerdo é \left(3^{\frac{x}{2}}\right)^{x-1}.
  • A expressão do lado direito é \left(\dfrac{3}{9}\right)^{x-3}.
  • A incógnita é x (procuramos todos os reais x que satisfazem a desigualdade).
  • Ambas as bases envolvidas são positivas para todo x (isto é importante para manipular potências com expoentes reais).

Passo 2

Primeira simplificação: usar a propriedade de potências \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc}. Aplicando ao lado esquerdo:
\left(3^{\frac{x}{2}}\right)^{x-1} = 3^{\frac{x}{2}\,(x-1)} = 3^{\frac{x(x-1)}{2}}.
Explicação da regra: quando uma potência está elevada a outra potência, multiplica-se os expoentes. Aqui a=3, b=\dfrac{x}{2} e c=x-1, então o expoente total é \dfrac{x}{2}\cdot (x-1).

Passo 3

Simplificar o lado direito: \dfrac{3}{9}=\dfrac{3}{3^{2}}=3^{-1}. Então
\left(\frac{3}{9}\right)^{x-3} = \big(3^{-1}\big)^{x-3} = 3^{-1\cdot (x-3)} = 3^{-(x-3)}.
Regra usada: \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn} e a/b = a\cdot b^{-1} (aqui 9=3^{2}, logo 3/9=3\cdot 3^{-2}=3^{-1}).

Passo 4

Substituindo as simplificações na inequação obtemos
3^{\frac{x(x-1)}{2}} \geq 3^{-(x-3)}.
Agora, como a base 3 é maior que 1, a função exponencial t\mapsto 3^{t} é estritamente crescente. Portanto a desigualdade entre potências com base 3 (base >1) é equivalente à desigualdade entre os expoentes:
\frac{x(x-1)}{2} \geq -(x-3).
Comentário didático: para bases maiores que 1 podemos “cancelar” a função exponencial mantendo o sentido da desigualdade; se a base fosse entre 0 e 1 (decrescente), o sentido inverteria.

Passo 5

Resolver a desigualdade entre expoentes. Multiplicando ambos os lados por 2 (que é positivo, então não inverte desigualdade):
x(x-1) \geq -2(x-3).
Expandir ambos os lados:
x^{2}-x \geq -2x + 6.
Passar todos os termos para o lado esquerdo:
x^{2}-x +2x -6 \geq 0
x^{2}+x -6 \geq 0.

Passo 6

Resolver a inequação quadrática \,x^{2}+x-6\geq0.
Primeiro fatorar ou encontrar raízes. Procuramos x tais que
x^{2}+x-6 = 0.
A fatoração fica
x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2),
pois (x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6. Assim as raízes são x=-3 e x=2.
Agora interpretamos a desigualdade (x+3)(x-2)\geq0. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o gráfico da parábola abre para cima; portanto o produto é não negativo quando x está fora do intervalo entre as raízes, e é zero nas raízes. Em termos de intervalos, isso significa que a expressão é \geq0 para x\leq -3 ou para x\geq 2.
Breve explicação do método do sinal (útil na prova): marcado os pontos críticos -3 e 2, testando um valor em cada região:
  • Para x<-3 (por exemplo x=-4) ambos os fatores (x+3) e (x-2) são negativos e seu produto é positivo.
  • Para -3<x<2 (por exemplo x=0) os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo.
  • Para x>2 (por exemplo x=3) ambos os fatores são positivos e o produto é positivo.
    Como queremos \geq0, mantemos as regiões onde o produto é positivo e também os pontos onde é zero ( -3 e 2).

Passo 7

Verificação rápida das fronteiras (dica para a prova): em x=-3 e x=2 as potências originais existem e a desigualdade fica 3^{\text{alguma}} \ge 3^{\text{mesma}}, ou seja igualdade — portanto os pontos devem ser incluídos.

Resposta

\;(-\infty,-3]\cup[2,\infty)

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