Se x é real, resolva a inequação exponencial
Passo 1
O enunciado pede: resolver a inequação exponencial
onde
é um número real. Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão do lado esquerdo é
. - O número
é uma potência de : . - A incógnita
varia em todos os números reais.
O objetivo é encontrar todos os valores deque satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Usar uma propriedade básica de potências para simplificar a expressão à esquerda. Regra: para qualquer base
e expoentes reais
,
Aplicando com
,
,
, obtemos
Explicação curta: primeiro calcula-se
e depois eleva-se esse resultado a
; multiplicando os expoentes dá
.
Passo 3
Reescrever o lado direito como potência de
. Observação:
. Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Converter a desigualdade exponencial numa desigualdade entre expoentes usando a monotonicidade da função exponencial. Fato importante: para base
a função
é estritamente crescente, ou seja,
se e somente se
. Aqui a base é
, logo podemos comparar diretamente os expoentes:
Justificativa: como elevar
a números maiores dá resultados maiores, reduzir a inequação aos expoentes é equivalente e não inverteu o sinal.
Passo 5
Resolver a inequação quadrática resultante. Primeiro trazer tudo para um lado:
Fatorar o polinômio (procura dois números com produto
e soma
): são
e
. Assim
Agora analisar o sinal do produto
. Um produto de dois fatores é menor ou igual a zero quando os fatores têm sinais opostos ou quando algum fator é zero. As raízes são
e
. A parábola abre para cima (coeficiente de
positivo), então a região onde o polinômio é não-positivo está entre as raízes:
Passo 6
Checagem rápida por valores de teste (para reforçar a confiança):
- Para
(que está no intervalo), a expressão inicial vale , e é verdadeiro. - Para
(fora do intervalo), a expressão inicial vale , que é maior que , logo não satisfaz.
Esses testes confirmam que a soluçãofaz sentido.