Se x é real, resolva a inequação exponencial \left(3^{x}\right)^{(x-1)} \leq 729

Passo 1

O enunciado pede: resolver a inequação exponencial
\left(3^{x}\right)^{(x-1)} \leq 729,
onde x é um número real. Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão do lado esquerdo é \left(3^{x}\right)^{(x-1)}.
  • O número 729 é uma potência de 3: 729=3^{6}.
  • A incógnita x varia em todos os números reais.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Usar uma propriedade básica de potências para simplificar a expressão à esquerda. Regra: para qualquer base a>0 e expoentes reais b,c,
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b c}.
Aplicando com a=3, b=x, c=x-1, obtemos
\left(3^{x}\right)^{(x-1)}=3^{x\,(x-1)}=3^{x^{2}-x}.
Explicação curta: primeiro calcula-se 3^{x} e depois eleva-se esse resultado a x-1; multiplicando os expoentes dá x(x-1).

Passo 3

Reescrever o lado direito como potência de 3. Observação: 729=3^{6}. Portanto a desigualdade fica
3^{x^{2}-x}\leq 3^{6}.

Passo 4

Converter a desigualdade exponencial numa desigualdade entre expoentes usando a monotonicidade da função exponencial. Fato importante: para base a>1 a função y\mapsto a^{y} é estritamente crescente, ou seja, a^{u}\leq a^{v} se e somente se u\leq v. Aqui a base é 3>1, logo podemos comparar diretamente os expoentes:
3^{x^{2}-x}\leq 3^{6}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x \leq 6.
Justificativa: como elevar 3 a números maiores dá resultados maiores, reduzir a inequação aos expoentes é equivalente e não inverteu o sinal.

Passo 5

Resolver a inequação quadrática resultante. Primeiro trazer tudo para um lado:
x^{2}-x-6 \leq 0.
Fatorar o polinômio (procura dois números com produto -6 e soma -1): são -3 e 2. Assim
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Agora analisar o sinal do produto (x-3)(x+2). Um produto de dois fatores é menor ou igual a zero quando os fatores têm sinais opostos ou quando algum fator é zero. As raízes são x=3 e x=-2. A parábola abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo), então a região onde o polinômio é não-positivo está entre as raízes:
-2 \leq x \leq 3.

Passo 6

Checagem rápida por valores de teste (para reforçar a confiança):
  • Para x=0 (que está no intervalo), a expressão inicial vale \left(3^{0}\right)^{-1}=1^{-1}=1, e 1\leq 729 é verdadeiro.
  • Para x=4 (fora do intervalo), a expressão inicial vale 3^{4^{2}-4}=3^{12}=531441, que é maior que 729, logo não satisfaz.
    Esses testes confirmam que a solução -2\le x\le 3 faz sentido.

Resposta

[-2,\,3]

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