Seja x um número real, determine o conjunto solução da seguinte inequação exponencial:
Passo 1
O enunciado dá a inequação exponencial
e pede: determinar o conjunto-solução, isto é, todos os
que satisfazem essa desigualdade.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A base das potências é
(uma base maior que ), logo está definida para todo e é estritamente crescente.\n - Precisamos resolver a desigualdade para
real; a inequação é estrita (sinal ), então pontos que tornam a expressão igual devem ser excluídos da solução.\n
Passo 2
Estratégia didática (trocar exponenciais por uma variável): como aparecem potências de
com expoentes que são expressões em
, é bem prático fazer a substituição
Explico por quê:
é sempre positivo para todo
, então
. Também, por ser função exponencial com base
, a relação entre
e
é monotônica crescente (se
então os correspondentes
). Isso permitirá voltar de
para
sem inverter sinais.\n
Agora vamos reescrever cada termo da inequação em função de :
Agora vamos reescrever cada termo da inequação em função de
Passo 3
Substituindo esses resultados na desigualdade original obtemos uma inequação polinomial em
:
Agora trazemos tudo para o membro esquerdo para ficar com uma expressão polinomial positiva:
Passo 4
Vamos resolver a inequação quadrática
com a condição adicional
.\n
Primeiro encontramos as raízes do polinômio . Podemos tentar fatorar: procurar números que façam
. Portanto a fatoração é
Primeiro encontramos as raízes do polinômio
As raízes são
e
.\n
Como o coeficiente de é positivo (
), o gráfico da parábola abre para cima. Logo a expressão quadrática é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa entre elas. Assim,
Como o coeficiente de
lembrando que também precisamos
(já respeitado pela união acima, pois começamos em
).\n
(Fazendo uma verificação rápida por exemplo: para o polinômio vale
; para
vale
. Isso confirma o critério de sinais.)
(Fazendo uma verificação rápida por exemplo: para
Passo 5
Voltando à variável
usando
e sabendo que
é estritamente crescente, resolvemos as desigualdades
Escrevendo as constantes como potências de base
:
Como
é crescente, as desigualdades se traduzem diretamente nos expoentes:
Portanto a solução em
é a união dos dois intervalos obtidos:
(Observação: os pontos
e
não fazem parte da solução porque a desigualdade é estrita.)
Passo 6
Cheque rápido com valores:
- Para
(pertence a ): calcular e . Temos — ok. \n - Para
(entre e , que não pertence à solução): e . Tem-se falso — ok. \n - Para
(pertence a ): e . Como , a desigualdade é verdadeira — ok.\n
Pronto — as verificações batem com a solução encontrada. Força aí — você já tem o método: substituirpor uma variável, transformar em polinômio, resolver e voltar para .