Seja x um número real, determine o conjunto solução da seguinte inequação exponencial:
\mathbf{2}^{\mathbf{2 x}+\mathbf{2}}-\mathbf{2}^{\mathbf{x}+\mathbf{3}}>\mathbf{2}^{\mathbf{x}}-\mathbf{2}

Passo 1

O enunciado dá a inequação exponencial
2^{2x+2}-2^{x+3}>2^{x}-2
e pede: determinar o conjunto-solução, isto é, todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A base das potências é 2 (uma base maior que 1), logo 2^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e é estritamente crescente.\n
  • Precisamos resolver a desigualdade para x real; a inequação é estrita (sinal >), então pontos que tornam a expressão igual devem ser excluídos da solução.\n

Passo 2

Estratégia didática (trocar exponenciais por uma variável): como aparecem potências de 2 com expoentes que são expressões em x, é bem prático fazer a substituição
t=2^{x}.
Explico por quê: \,2^{x} é sempre positivo para todo x, então t>0. Também, por ser função exponencial com base 2>1, a relação entre t e x é monotônica crescente (se t_1< t_2 então os correspondentes x_1<x_2). Isso permitirá voltar de t para x sem inverter sinais.\n
Agora vamos reescrever cada termo da inequação em função de t:
2^{2x+2}=2^{2x}\cdot 2^{2}=(2^{x})^{2}\cdot 4=4t^{2},
2^{x+3}=2^{x}\cdot 2^{3}=8t,
2^{x}=t.

Passo 3

Substituindo esses resultados na desigualdade original obtemos uma inequação polinomial em t:
4t^{2}-8t>t-2.
Agora trazemos tudo para o membro esquerdo para ficar com uma expressão polinomial positiva:
4t^{2}-8t - t +2>0
4t^{2}-9t+2>0.

Passo 4

Vamos resolver a inequação quadrática
4t^{2}-9t+2>0
com a condição adicional t>0.\n
Primeiro encontramos as raízes do polinômio 4t^{2}-9t+2. Podemos tentar fatorar: procurar números que façam (4t-1)(t-2)=4t^{2}-8t-t+2=4t^{2}-9t+2. Portanto a fatoração é
4t^{2}-9t+2=(4t-1)(t-2).
As raízes são t=\dfrac{1}{4} e t=2.\n
Como o coeficiente de t^{2} é positivo ( 4>0), o gráfico da parábola abre para cima. Logo a expressão quadrática é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa entre elas. Assim,
4t^{2}-9t+2>0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left(0,\frac{1}{4}\right)\cup\left(2,\infty\right),
lembrando que também precisamos t>0 (já respeitado pela união acima, pois começamos em 0).\n
(Fazendo uma verificação rápida por exemplo: para t=1 o polinômio vale 4-9+2=-3<0; para t=3 vale 36-27+2=11>0. Isso confirma o critério de sinais.)

Passo 5

Voltando à variável x usando t=2^{x} e sabendo que 2^{x} é estritamente crescente, resolvemos as desigualdades
2^{x}<\frac{1}{4}\quad\text{e}\quad 2^{x}>2.
Escrevendo as constantes como potências de base 2:
\frac{1}{4}=2^{-2},\qquad 2=2^{1}.
Como 2^{x} é crescente, as desigualdades se traduzem diretamente nos expoentes:
2^{x}<2^{-2}\Longleftrightarrow x<-2,
2^{x}>2^{1}\Longleftrightarrow x>1.
Portanto a solução em x é a união dos dois intervalos obtidos:
x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
(Observação: os pontos x=-2 e x=1 não fazem parte da solução porque a desigualdade é estrita.)

Passo 6

Cheque rápido com valores:
  • Para x=2 (pertence a (1,\infty)): calcular \,2^{2\cdot2+2}-2^{2+3}=2^{6}-2^{5}=64-32=32 e \,2^{2}-2=4-2=2. Temos 32>2 — ok. \n
  • Para x=0 (entre -2 e 1, que não pertence à solução): 2^{2}-2^{3}=4-8=-4 e 2^{0}-2=1-2=-1. Tem-se -4>-1 falso — ok. \n
  • Para x=-3 (pertence a (-\infty,-2)): 2^{-4}-2^{0}=\tfrac{1}{16}-1=-\tfrac{15}{16} e 2^{-3}-2=\tfrac{1}{8}-2=-\tfrac{15}{8}. Como -\tfrac{15}{16}>-\tfrac{15}{8}, a desigualdade é verdadeira — ok.\n
    Pronto — as verificações batem com a solução encontrada. Força aí — você já tem o método: substituir 2^{x} por uma variável, transformar em polinômio, resolver e voltar para x.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(1,\infty)

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