Resolva a inequação logarítmica e expresse a solução em notação de intervalo:
\log _{1 / 3}(2 x-1)<\log _{1 / 3}(x+3)
Dica: atente para o sentido da desigualdade ao comparar logaritmos de base 0<a<1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log_{1/3}(2x-1) < \log_{1/3}(x+3)
e escrever a solução em notação de intervalo. Informações relevantes fornecidas:
  • A base do logaritmo é 1/3.
  • Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
    • 2x-1>0.
    • x+3>0.

Passo 2

Antes de manipular a desigualdade, é preciso entender como comparar logaritmos quando a base está entre 0 e 1. Regra importante (explicada de forma simples):
  • Para uma base a com 0<a<1, a função y=\log_a(t) é decrescente em t. Isso significa que, para quaisquer u e v positivos, \log_a(u) < \log_a(v) \quad\Longleftrightarrow\quad u>v.
Explicação curta do porquê: a função exponencial a^y com 0<a<1 decresce quando y aumenta; o logaritmo é a função inversa da exponencial, logo também é decrescente. Um exemplo numérico rápido: com a=1/3, tem-se \log_{1/3}(9) < \log_{1/3}(8) porque 9>8 (o maior argumento dá logaritmo menor).

Passo 3

Determinar o domínio (condições de existência dos logaritmos) a partir das desigualdades dos argumentos:
2x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{2},
x+3>0 \Rightarrow x>-3.
A interseção dessas condições é
x>\tfrac{1}{2}.
Portanto só podemos considerar x tais que x>\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora aplicar a propriedade da Passo 2 para transformar a inequação em uma desigualdade entre os argumentos. Como a base 1/3 satisfaz 0<\tfrac{1}{3}<1, a desigualdade entre logaritmos inverte-se ao passar para os argumentos:
\log_{1/3}(2x-1) < \log_{1/3}(x+3) \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-1 > x+3.

Passo 5

Resolver a desigualdade linear obtida:
2x-1 > x+3.
Subtrair x dos dois lados:
x-1 > 3.
Somar 1 aos dois lados:
x > 4.

Passo 6

Combinar a solução da inequação com o domínio encontrado no Passo 3. O domínio exigia x>\tfrac{1}{2}. A solução da desigualdade é x>4. A interseção é simplesmente
x>4.
Verificação rápida com um ponto teste: para x=5 tem-se 2x-1=9 e x+3=8, com 9>8; com base 1/3 (decrescente) isso dá \log_{1/3}(9)<\log_{1/3}(8), ou seja, a desigualdade original é satisfeita.

Resposta

(4,\infty)

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