Resolva a inequação logarítmica e expresse a solução em notação de intervalo:
Dica: atente para o sentido da desigualdade ao comparar logaritmos de base
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e escrever a solução em notação de intervalo. Informações relevantes fornecidas:
- A base do logaritmo é
. - Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
-
. -
.
-
Passo 2
Antes de manipular a desigualdade, é preciso entender como comparar logaritmos quando a base está entre
e
. Regra importante (explicada de forma simples):
- Para uma base
com , a função é decrescente em . Isso significa que, para quaisquer e positivos,
Explicação curta do porquê: a função exponencial
com
decresce quando
aumenta; o logaritmo é a função inversa da exponencial, logo também é decrescente. Um exemplo numérico rápido: com
, tem-se
porque
(o maior argumento dá logaritmo menor).
Passo 3
Determinar o domínio (condições de existência dos logaritmos) a partir das desigualdades dos argumentos:
A interseção dessas condições é
Portanto só podemos considerar
tais que
.
Passo 4
Agora aplicar a propriedade da Passo 2 para transformar a inequação em uma desigualdade entre os argumentos. Como a base
satisfaz
, a desigualdade entre logaritmos inverte-se ao passar para os argumentos:
Passo 5
Resolver a desigualdade linear obtida:
Subtrair
dos dois lados:
Somar
aos dois lados:
Passo 6
Combinar a solução da inequação com o domínio encontrado no Passo 3. O domínio exigia
. A solução da desigualdade é
. A interseção é simplesmente
Verificação rápida com um ponto teste: para
tem-se
e
, com
; com base
(decrescente) isso dá
, ou seja, a desigualdade original é satisfeita.