Resolva a equação, determinando as condições de existência (domínio dos logaritmos):
\log _{2}(x+3)+\log _{2}(x-1)=3
Atenção: verifique se as soluções encontradas satisfazem as condições de existência.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=3
e exige que sejam determinadas as condições de existência (domínio dos logaritmos) e que se verifique se as soluções satisfazem essas condições.
Informações dadas:
  • A equação é composta por duas funções logarítmicas com base 2: \log_{2}(x+3) e \log_{2}(x-1).
  • A soma desses logaritmos deve ser igual a 3.
O que precisamos fazer:
  • Determinar o domínio (valores de x que tornam ambos os argumentos dos logaritmos positivos).
  • Usar propriedades dos logaritmos para transformar a equação em uma equação algébrica mais simples.
  • Resolver a equação algébrica obtida.
  • Verificar quais raízes respeitam o domínio e, portanto, são soluções válidas da equação original.

Passo 2

Determinar o domínio (condições de existência dos logaritmos).
Regra: um logaritmo \log_a(t) está definido somente quando t>0. Portanto precisamos:
x+3>0 \quad\text{e}\quad x-1>0.
Resolver cada desigualdade:
x+3>0 \Rightarrow x>-3,
x-1>0 \Rightarrow x>1.
A condição que satisfaz as duas ao mesmo tempo é a interseção:
x>1.
Conclusão do domínio: a equação só pode ser considerada para x tais que x>1.

Passo 3

Aplicar a propriedade dos logaritmos que simplifica a soma de logaritmos com mesma base.
Propriedade: para base a>0, a\neq1, e u>0, v>0,
\log_{a}(u)+\log_{a}(v)=\log_{a}(u\cdot v).
Aqui a base é 2 (válida) e, sempre que estiver no domínio, x+3>0 e x-1>0. Aplicando a propriedade:
\log_{2}\big((x+3)(x-1)\big)=3.

Passo 4

Passar da forma logarítmica para a forma exponencial.
Equivalência: \log_{2}(Y)=3 é equivalente a Y=2^{3}.
Aplicando aqui:
(x+3)(x-1)=2^{3}=8.
Expandir e transformar em uma equação quadrática:
x^2+2x-3=8,
x^2+2x-11=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \,x^2+2x-11=0.
Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para \,ax^2+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=2, c=-11. Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-11)=4+44=48.
Logo
x=\frac{-2\pm\sqrt{48}}{2}.
Simplificar \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}. Assim
x=\frac{-2\pm4\sqrt{3}}{2}=-1\pm2\sqrt{3}.
Obtemos duas raízes:
x_{1}=-1+2\sqrt{3},\qquad x_{2}=-1-2\sqrt{3}.
Para termos uma noção numérica (apenas para verificar o domínio):
x_{1}\approx -1+2\cdot1,732\approx -1+3,464\approx 2,464,
x_{2}\approx -1-3,464\approx -4,464.

Passo 6

Verificar quais raízes satisfazem o domínio x>1.
  • Para x_{1}=-1+2\sqrt{3}: podemos comparar exatamente:
-1+2\sqrt{3}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\sqrt{3}>2 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{3}>1,
o que é verdadeiro. Portanto x_{1} pertence ao domínio.
  • Para x_{2}=-1-2\sqrt{3}: claramente x_{2}< -1<1, então x_{2} não pertence ao domínio.
Como x_{2} não satisfaz as condições de existência dos logaritmos, ela é descartada (é extraneous por violar o domínio). Apenas x_{1} é solução válida da equação original.

Passo 7

Verificação final (consistência): a raiz x_{1} foi obtida a partir da igualdade (x+3)(x-1)=8 que veio diretamente da equação logarítmica usando propriedades válidas dentro do domínio. Já que x_{1} respeita o domínio x>1, não há contradição e a solução é válida.

Resposta

x=-1+2\sqrt{3}

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