Resolva a equação, determinando as condições de existência (domínio dos logaritmos):
Atenção: verifique se as soluções encontradas satisfazem as condições de existência.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
e exige que sejam determinadas as condições de existência (domínio dos logaritmos) e que se verifique se as soluções satisfazem essas condições.
Informações dadas:
- A equação é composta por duas funções logarítmicas com base
: e . - A soma desses logaritmos deve ser igual a
.
O que precisamos fazer:
- Determinar o domínio (valores de
que tornam ambos os argumentos dos logaritmos positivos). - Usar propriedades dos logaritmos para transformar a equação em uma equação algébrica mais simples.
- Resolver a equação algébrica obtida.
- Verificar quais raízes respeitam o domínio e, portanto, são soluções válidas da equação original.
Passo 2
Determinar o domínio (condições de existência dos logaritmos).
Regra: um logaritmo
está definido somente quando
. Portanto precisamos:
Resolver cada desigualdade:
A condição que satisfaz as duas ao mesmo tempo é a interseção:
Conclusão do domínio: a equação só pode ser considerada para
tais que
.
Passo 3
Aplicar a propriedade dos logaritmos que simplifica a soma de logaritmos com mesma base.
Propriedade: para base
,
, e
,
,
Aqui a base é
(válida) e, sempre que estiver no domínio,
e
. Aplicando a propriedade:
Passo 4
Passar da forma logarítmica para a forma exponencial.
Equivalência:
é equivalente a
.
Aplicando aqui:
Expandir e transformar em uma equação quadrática:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
.
Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
,
Aqui
,
,
. Calcular o discriminante:
Logo
Simplificar
. Assim
Obtemos duas raízes:
Para termos uma noção numérica (apenas para verificar o domínio):
Passo 6
Verificar quais raízes satisfazem o domínio
.
- Para
: podemos comparar exatamente:
o que é verdadeiro. Portanto
pertence ao domínio.
- Para
: claramente , então não pertence ao domínio.
Como
não satisfaz as condições de existência dos logaritmos, ela é descartada (é extraneous por violar o domínio). Apenas
é solução válida da equação original.
Passo 7
Verificação final (consistência): a raiz
foi obtida a partir da igualdade
que veio diretamente da equação logarítmica usando propriedades válidas dentro do domínio. Já que
respeita o domínio
, não há contradição e a solução é válida.