Considere as funções f(x)=\log _{2} x e g(x)=\log _{1 / 2} x.
(a) Determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) Calcule f\left(\frac{1}{4}\right), f(1), f(4) e os valores correspondentes para g, e esboce ambos os gráficos no mesmo plano cartesiano.
(c) Que simetria existe entre os gráficos? Justifique algebricamente.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=\log_{2} x e g(x)=\log_{1/2} x e pede três coisas:
  • (a) determinar o domínio e a imagem de cada função;
  • (b) calcular f\!\left(\tfrac{1}{4}\right), f(1), f(4) e os valores correspondentes para g, e esboçar ambos os gráficos no mesmo plano cartesiano;
  • (c) identificar que simetria existe entre os gráficos e justificar algebricamente.
Informações relevantes dadas: as definições explícitas de f e g.

Passo 2

O que é \log_a x e quando ela existe: por definição \log_a x é o número y tal que a^{y}=x. Para que isso faça sentido precisamos que a base a satisfaça a>0 e a\neq1, e o argumento x satisfaça x>0 (porque potências a^{y} só produzem números positivos). Portanto, para qualquer logaritmo válido:
  • o domínio é o conjunto de x com x>0, isto é (0,\infty);
  • a função logaritmo é a inversa da exponencial y\mapsto a^{y}, e como a exponencial envia \mathbb{R} sobre (0,\infty), a imagem da função logaritmo é todo \mathbb{R}.
Aplicando isso às duas funções dadas: como ambas têm base válida ( 2>0,\;2\neq1 e 1/2>0,\;1/2\neq1), conclui-se que o domínio de f e de g é (0,\infty) e a imagem de ambas é \mathbb{R}.

Passo 3

Monotonicidade (útil para o esboço): usar a fórmula de mudança de base
\log_{a} x=\frac{\ln x}{\ln a}.
Dessa expressão vemos que o sinal de \ln a determina se \log_a x é crescente ou decrescente:
  • se a>1 então \ln a>0 e \log_a x é crescente;
  • se 0<a<1 então \ln a<0 e \log_a x é decrescente.
Para os nossos casos: f (base 2>1) é crescente; g (base 1/2 com 0<1/2<1) é decrescente.

Passo 4

Cálculo dos valores pedidos para f. É útil lembrar potências de 2:
\frac{1}{4}=2^{-2},\qquad 1=2^{0},\qquad 4=2^{2}.
Logo, pela definição do logaritmo:
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-2, \qquad f(1)=\log_{2}1=0, \qquad f(4)=\log_{2}4=2.

Passo 5

Cálculo dos valores correspondentes para g. Use a mudança de base em relação a 2:
\log_{1/2} x=\frac{\log_{2} x}{\log_{2}(1/2)}.
Como \log_{2}(1/2)=-1 (pois (1/2)=2^{-1}), obtemos a relação muito útil
\log_{1/2} x = -\log_{2} x.
Aplicando isso aos pontos calculados em f:
g\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=2, \qquad g(1)=-f(1)=0, \qquad g(4)=-f(4)=-2.

Passo 6

Esboço dos gráficos (instruções práticas para desenhar no mesmo plano):
  • Domínio de ambos: só x>0. Há uma assíntota vertical em x=0.
  • Pontos-chave a marcar: para f marque \left(\tfrac{1}{4},-2\right), (1,0), (4,2). Para g marque \left(\tfrac{1}{4},2\right), (1,0), (4,-2).
  • Comportamento nas extremidades:
    • Para f: quando x\to0^{+} tem f(x)\to-\infty; quando x\to\infty tem f(x)\to\infty.
    • Para g: quando x\to0^{+} tem g(x)\to\infty; quando x\to\infty tem g(x)\to-\infty.
  • Formato: f é crescente passando por (1,0) subindo lentamente; g é decrescente passando por (1,0) descendo. Desenhe as duas curvas usando os pontos marcados e o comportamento nas extremidades. Assim os dois gráficos ficam no mesmo plano e se cruzam em (1,0).

Passo 7

Justificativa algébrica da simetria pedida: a relação
\log_{1/2} x = -\log_{2} x
mostra que, para todo x>0, o par (x,\log_{1/2} x) é (x,-\log_{2} x). Ou seja, se (x,y) pertence ao gráfico de f então (x,-y) pertence ao gráfico de g. Geometricamente isso significa que o gráfico de g é o reflexo do gráfico de f em relação ao eixo x (simetria pelo eixo x). Essa é a justificativa algébrica completa.

Resposta

(a) Domínio de f e de g: (0,\infty). Imagem de f e de g: \mathbb{R}.
(b) f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-2,\; f(1)=0,\; f(4)=2.
\quad g\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=2,\; g(1)=0,\; g(4)=-2.
Esboço: curvas com domínio x>0, assíntota vertical x=0, ambas passam por (1,0); f crescente (p.ex. (4,2)), g decrescente (p.ex. (4,-2)).
(c) Os gráficos são simétricos em relação ao eixo x, pois \log_{1/2} x=-\log_{2} x, logo cada ponto (x,y) de f corresponde ao ponto (x,-y) de g.

Exercícios relacionados