Considere as funções
e
.
(a) Determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) Calcule
e os valores correspondentes para
, e esboce ambos os gráficos no mesmo plano cartesiano.
(c) Que simetria existe entre os gráficos? Justifique algebricamente.
(a) Determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) Calcule
(c) Que simetria existe entre os gráficos? Justifique algebricamente.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
e pede três coisas:
- (a) determinar o domínio e a imagem de cada função;
- (b) calcular
, , e os valores correspondentes para , e esboçar ambos os gráficos no mesmo plano cartesiano; - (c) identificar que simetria existe entre os gráficos e justificar algebricamente.
Informações relevantes dadas: as definições explícitas de
e
.
Passo 2
O que é
e quando ela existe: por definição
é o número
tal que
. Para que isso faça sentido precisamos que a base
satisfaça
e
, e o argumento
satisfaça
(porque potências
só produzem números positivos). Portanto, para qualquer logaritmo válido:
- o domínio é o conjunto de
com , isto é ; - a função logaritmo é a inversa da exponencial
, e como a exponencial envia sobre , a imagem da função logaritmo é todo .
Aplicando isso às duas funções dadas: como ambas têm base válida (
e
), conclui-se que o domínio de
e de
é
e a imagem de ambas é
.
Passo 3
Monotonicidade (útil para o esboço): usar a fórmula de mudança de base
Dessa expressão vemos que o sinal de
determina se
é crescente ou decrescente:
- se
então e é crescente; - se
então e é decrescente.
Para os nossos casos:
(base
) é crescente;
(base
com
) é decrescente.
Passo 4
Cálculo dos valores pedidos para
. É útil lembrar potências de
:
Logo, pela definição do logaritmo:
Passo 5
Cálculo dos valores correspondentes para
. Use a mudança de base em relação a
:
Como
(pois
), obtemos a relação muito útil
Aplicando isso aos pontos calculados em
:
Passo 6
Esboço dos gráficos (instruções práticas para desenhar no mesmo plano):
- Domínio de ambos: só
. Há uma assíntota vertical em . - Pontos-chave a marcar: para
marque , , . Para marque , , . - Comportamento nas extremidades:
- Para
: quando tem ; quando tem . - Para
: quando tem ; quando tem .
- Para
- Formato:
é crescente passando por subindo lentamente; é decrescente passando por descendo. Desenhe as duas curvas usando os pontos marcados e o comportamento nas extremidades. Assim os dois gráficos ficam no mesmo plano e se cruzam em .
Passo 7
Justificativa algébrica da simetria pedida: a relação
mostra que, para todo
, o par
é
. Ou seja, se
pertence ao gráfico de
então
pertence ao gráfico de
. Geometricamente isso significa que o gráfico de
é o reflexo do gráfico de
em relação ao eixo
(simetria pelo eixo
). Essa é a justificativa algébrica completa.
Resposta
(a) Domínio de
e de
:
. Imagem de
e de
:
.
(b)
Esboço: curvas com domínio , assíntota vertical
, ambas passam por
;
crescente (p.ex.
),
decrescente (p.ex.
).
Esboço: curvas com domínio
(c) Os gráficos são simétricos em relação ao eixo
, pois
, logo cada ponto
de
corresponde ao ponto
de
.