Resolva a inequaçāo.
0<|x-5|<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a inequação
0<|x-5|<\frac{1}{2}
e pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa condição.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um valor absoluto envolvendo x: |x-5|.
  • A desigualdade é estrita em ambos os lados: maior que 0 e menor que \tfrac{1}{2}.
  • Precisa-se determinar o conjunto de x reais que satisfazem simultaneamente essas duas condições.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e como transformá-lo em desigualdades sem valor absoluto.
Definição/ideia básica: para qualquer número real y, |y| representa a distância de y até 0; em particular:
  • A desigualdade |y|<a (com a>0) é equivalente à desigualdade dupla -a<y<a.
  • A desigualdade |y|>0 significa simplesmente y\neq 0 (distância positiva, não zero).
Exemplo curto para fixar: |x-2|<3 é equivalente a -3<x-2<3, que dá -1<x<5.

Passo 3

Aplicando isso à nossa inequação. A desigualdade
0<|x-5|<\frac{1}{2}
é a conjunção de duas condições:
|x-5|>0 \quad\text{e}\quad |x-5|<\frac{1}{2}.

Passo 4

Tratar a primeira condição: |x-5|>0.
Pelo raciocínio anterior, |x-5|>0 significa que x-5\neq 0, isto é
x\neq 5.

Passo 5

Tratar a segunda condição: |x-5|<\dfrac{1}{2}.
Usando a equivalência |y|<a \iff -a<y<a, com y=x-5 e a=\dfrac{1}{2}, obtemos a desigualdade dupla
-\frac{1}{2}<x-5<\frac{1}{2}.
Agora isolamos x somando 5 em todas as partes:
5-\frac{1}{2}<x<5+\frac{1}{2}.
Expressando em forma decimal (usando vírgula como separador):
4,5<x<5,5.

Passo 6

Combinar as duas condições: x\neq5 e 4,5<x<5,5.
A condição 4,5<x<5,5 já descreve um intervalo aberto ao redor de 5, e devemos excluir o ponto x=5. Portanto os x válidos são todos os pontos em (4,5,5 — aqui vou escrever corretamente a união dos subintervalos resultantes no campo final.

Resposta

\left(4,5,5\right)

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