Encontre as soluções da inequação de quociente: \frac{3 x-4}{2 x+1} \geq \frac{x+1}{3 x-8}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de quociente
\frac{3x - 4}{2x + 1} \;\ge\; \frac{x + 1}{3x - 8}.
O conteúdo aqui é inequação envolvendo frações racionais, então precisamos:
  1. Determinar o domínio (valores que anulam os denominadores).
  2. Colocar tudo num único lado para obter uma fração \ge0.
  3. Estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Subtraímos o segundo termo do primeiro e passamos tudo para o lado esquerdo:
\frac{3x - 4}{2x + 1} - \frac{x + 1}{3x - 8} \;\ge\; 0.
Para combinar as frações, o denominador comum é (2x+1)(3x-8).

Passo 3

Calculamos o numerador resultante:
(3x - 4)(3x - 8) \;-\;(x + 1)(2x + 1).
Expandindo,
(3x - 4)(3x - 8) = 9x^2 - 36x + 32, \qquad (x + 1)(2x + 1) = 2x^2 + 3x + 1,
logo o numerador é
N(x) = 9x^2 - 36x + 32 \;-\;(2x^2 + 3x + 1) = 7x^2 - 39x + 31.
Assim a inequação vira
\frac{7x^2 - 39x + 31}{(2x+1)(3x-8)} \;\ge\; 0.

Passo 4

Determinamos as raízes do numerador resolvendo
7x^2 - 39x + 31 = 0.
O discriminante é \Delta = (-39)^2 - 4\cdot7\cdot31 = 653.
As raízes são
x_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{653}}{14},
com valores aproximados \tfrac{39 - \sqrt{653}}{14}\approx0{,}9605 e \tfrac{39 + \sqrt{653}}{14}\approx4{,}6109.

Passo 5

Os zeros do denominador são
2x + 1 = 0 \implies x = -\tfrac12, \qquad 3x - 8 = 0 \implies x = \tfrac{8}{3}\approx2{,}667.
Portanto os pontos críticos são, em ordem crescente, -\infty,\;-{\tfrac12},\;x_1\approx0{,}9605,\;\tfrac{8}{3},\;x_2\approx4{,}6109,\;\infty.

Passo 6

Fazemos o quadro de sinais de \frac{N(x)}{(2x+1)(3x-8)}. Como N(x) é um quadrado positivo fora do intervalo [x_1,x_2] e negativo dentro, e o denominador muda de sinal em -\tfrac12 e em \tfrac{8}{3}, avaliamos o sinal em cada trecho:
  • (-\infty,-\tfrac12): numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
  • (-\tfrac12,x_1): numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0.
  • (x_1,\tfrac{8}{3}): numerador <0, denominador <0 ⇒ fração >0.
  • (\tfrac{8}{3},x_2): numerador <0, denominador >0 ⇒ fração <0.
  • (x_2,\infty): numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
Como queremos \ge0, incluímos os zeros do numerador x_1,x_2 e excluímos as raízes do denominador -\tfrac12,\tfrac{8}{3}.

Resposta

\boxed{ (-\infty,\,-\tfrac12)\;\cup\;\bigl[\tfrac{39-\sqrt{653}}{14},\,\tfrac{8}{3}\bigr)\;\cup\;\bigl[\tfrac{39+\sqrt{653}}{14},\,\infty\bigr). }

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