Resolva a inequação e represente o conjunto solução graficamente na reta real na forma de intervalo.
12 x^{2}-25 x+12 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
12x^{2}-25x+12 \ge 0
Isso é uma inequação quadrática. Para resolvê-la, vamos primeiro encontrar as raízes da função quadrática
f(x)=12x^{2}-25x+12
e depois estudar o sinal de f(x) em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Calcular o discriminante da equação 12x^{2}-25x+12=0:
\Delta = b^{2}-4ac = (-25)^{2}-4\cdot12\cdot12 = 625 - 576 = 49.
Como \Delta=49>0, há duas raízes reais dadas por
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{25\pm7}{2\cdot12} = \frac{25\pm7}{24}.
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x_{1} = \frac{25-7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}, \quad x_{2} = \frac{25+7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}.

Passo 3

Como o coeficiente principal a=12 é positivo, a parábola de f(x) abre para cima. Portanto f(x)\ge0 nas regiões externas às raízes, e f(x)<0 entre elas. Assim a solução da inequação é
x \le \frac{3}{4} \quad\text{ou}\quad x \ge \frac{4}{3}.

Resposta

A solução em forma de intervalo é
(-\infty,\tfrac{3}{4}] \;\cup\; [\tfrac{4}{3},\infty).
Na reta real, marcamos \tfrac{3}{4} e \tfrac{4}{3} com pontos fechados e sombreamos tudo à esquerda de \tfrac{3}{4} e tudo à direita de \tfrac{4}{3}.

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