Resolva a inequação e represente o conjunto solução graficamente na reta real na forma de intervalo.
x^{2}-4 x<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{2} - 4x < 1
ou seja, é uma inequação de segundo grau. Para resolvê-la, vamos passar tudo para um lado, obter um polinômio f(x) e estudar o sinal desse polinômio.

Passo 2

Colocando todos os termos no mesmo lado, temos
x^{2} - 4x - 1 < 0.
Definimos f(x)=x^{2}-4x-1. Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( a=1>0), sabemos que o gráfico de f é uma parábola voltada para cima. Logo, f(x)<0 ocorre no intervalo entre as raízes de f(x)=0.

Passo 3

Calculamos as raízes da equação
x^{2}-4x-1=0.
O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=16+4=20.
Assim, as raízes são
x = \frac{4\pm\sqrt{20}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt{5}}{2} = 2\pm\sqrt{5}.

Passo 4

Como a parábola abre para cima, f(x)<0 para
2-\sqrt{5} < x < 2+\sqrt{5}.
Portanto, o conjunto-solução é o intervalo aberto
\bigl(2-\sqrt{5},\,2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 5

Representação gráfica na reta real: marque os pontos \,2-\sqrt{5} e \,2+\sqrt{5} com círculos vazados e pinte a parte da reta que fica entre eles.

Resposta

\bigl(2-\sqrt{5},\,2+\sqrt{5}\bigr)

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