Determine os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções de uma variável abaixo:
f(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{5}{3} x^{3}+4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar pontos de máximo e mínimo da função
f(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{5}{3}x^{3}+4x^{2}
em uma variável. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada para classificar extremos.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira f'(x) aplicando as regras de potenciação termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr)=x^{3},\quad \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{5}{3}x^{3}\Bigr)=5x^{2},\quad \frac{d}{dx}(4x^{2})=8x.
Logo,
f'(x)=x^{3}+5x^{2}+8x = x\bigl(x^{2}+5x+8\bigr).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
x\,(x^{2}+5x+8)=0.
Isso dá x=0 ou x^{2}+5x+8=0. Como o discriminante dessa quadrática é
\Delta = 5^{2}-4\cdot1\cdot8 =25-32 = -7 < 0,
não há raízes reais além de x=0. Assim, o único ponto crítico real é
x=0.

Passo 4

Calculemos a derivada segunda para classificar o ponto crítico:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+5x^{2}+8x\bigr) =3x^{2}+10x+8.

Passo 5

Aplique o teste da segunda derivada em x=0:
f''(0)=3\cdot0^{2}+10\cdot0+8 = 8 > 0.
Como f''(0)>0, concluímos que x=0 é ponto de mínimo local. Não há pontos onde f'(x) mude sinal de forma a gerar máximos, logo não existem máximos locais.

Resposta

O único extremo é um mínimo local em x=0, com valor
f(0)=0.
Não existem pontos de máximo local.

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