Determine os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções de uma variável abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar pontos de máximo e mínimo da função
em uma variável. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada para classificar extremos.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira
aplicando as regras de potenciação termo a termo:
Logo,
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Isso dá
ou
. Como o discriminante dessa quadrática é
não há raízes reais além de
. Assim, o único ponto crítico real é
Passo 4
Calculemos a derivada segunda para classificar o ponto crítico:
Passo 5
Aplique o teste da segunda derivada em
:
Como
, concluímos que
é ponto de mínimo local. Não há pontos onde
mude sinal de forma a gerar máximos, logo não existem máximos locais.
Resposta
O único extremo é um mínimo local em
, com valor
Não existem pontos de máximo local.