Resolva a inequação e represente o conjunto solução graficamente na reta real na forma de intervalo.
4 x^{2}-1 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação quadrática
4x^{2}-1 \le 0
ou seja, encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade, e depois representar graficamente o conjunto solução na reta real e escrevê-lo em forma de intervalo. Vamos usar fatoração e análise de sinais de um produto de fatores.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação associada para encontrar as raízes:
4x^{2}-1=0
Isso é uma diferença de quadrados. Logo,
4x^{2}-1 = (2x)^{2} - 1^{2} = (2x-1)(2x+1).
As raízes vêm de
2x-1=0 \implies x=\tfrac12 \quad\text{e}\quad 2x+1=0 \implies x=-\tfrac12.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de
(2x-1)(2x+1)\le 0.
Como cada fator é zero em x=-\tfrac12 ou x=\tfrac12, e ambos são linhas retas com coeficiente angular positivo, o produto é negativo ou zero quando x fica entre as raízes. Em outras palavras, para x\in\bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr] um dos fatores é não-positivo e o outro é não-negativo, garantindo o produto \le0.

Passo 4

Para a representação gráfica na reta real, marcamos -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2} com círculos fechados (pois a desigualdade é “ \le”) e sombreia-se o segmento entre eles:
\bullet ================= \bullet
-\tfrac{1}{2}\quad \tfrac{1}{2}

Resposta

O conjunto-solução, em forma de intervalo, é
\bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr].

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