Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
x^{3}+3 x<4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x^{3}+3x<4x^{2}.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômio e estudo de sinal de produto. Vamos levar tudo para um lado, fatorar e analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Subtraindo 4x^{2} de ambos os lados, obtemos
x^{3}-4x^{2}+3x<0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio em evidência de x e fatoração da quadrática:
x^{3}-4x^{2}+3x = x\bigl(x^{2}-4x+3\bigr) = x(x-1)(x-3).

Passo 4

Os zeros do produto são x=0, x=1 e x=3. Esses pontos particionam a reta em quatro intervalos. Escolhendo um ponto teste em cada intervalo:
  • Em (-\infty,0), seja x=-1:
    (-1)\cdot(-2)\cdot(-4)<0, logo o produto é negativo.
  • Em (0,1), seja x=0,5:
    (+)\cdot(-)\cdot(-)>0, produto positivo.
  • Em (1,3), seja x=2:
    (+)\cdot(+)\cdot(-)<0, produto negativo.
  • Em (3,\infty), seja x=4:
    (+)\cdot(+)\cdot(+)>0, produto positivo.
Como queremos x(x-1)(x-3)<0, os intervalos que satisfazem são (-\infty,0) e (1,3).

Resposta

(-\infty,0)\,\cup\,(1,3).

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