Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
-3<\frac{1}{x} \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-3 < \frac{1}{x} \leqslant 1
e expressar a solução em intervalos reais. O conteúdo de matemática é manipulação de inequações racionais, lembrando que ao multiplicar por x devemos considerar separadamente os casos x>0 e x<0. Note também que o domínio exige x\neq 0.

Passo 2

Vamos primeiro isolar cada parte da dupla inequação. Para
-3 < \frac{1}{x}
consideramos:
Caso A: x>0.
Multiplicando por x>0 (não inverte o sinal):
-3x < 1 \quad\Longrightarrow\quad x > -\tfrac{1}{3}.
Mas em x>0, isso é sempre verdade. Logo, para este caso, a solução é x>0.
Caso B: x<0.
Multiplicando por x<0 (inverte o sinal):
-3x > 1 \quad\Longrightarrow\quad x < -\tfrac{1}{3}.
Como já estamos em x<0, isso reduz-se a x < -\tfrac{1}{3}.
Portanto, a solução de -3 < \tfrac{1}{x} é
x>0 \quad\text{ou}\quad x<-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora resolvemos
\frac{1}{x} \leqslant 1.
Caso A: x>0.
Multiplicando por x>0:
1 \leqslant x \quad\Longrightarrow\quad x \geqslant 1.
Caso B: x<0.
Multiplicando por x<0 (inverte o sinal):
1 \geqslant x \quad\Longrightarrow\quad x \leqslant 1.
Mas como x<0, qualquer x<0 já satisfaz x\leqslant1. Então a solução é x<0 ou x\ge1.

Passo 4

Fazendo a interseção das duas soluções:
Para x<0:
  • de -3<\tfrac1x veio x<-\tfrac13,
  • de \tfrac1x\le1 veio todo x<0.
    Logo em x<0 a solução comum é x<-\tfrac13.
Para x>0:
  • de -3<\tfrac1x veio todo x>0,
  • de \tfrac1x\le1 veio x\ge1.
    Logo em x>0 a solução comum é x\ge1.
Combinando os dois pedaços e excluindo x=0, obtemos
(-\infty,\,-\tfrac{1}{3})\;\cup\;[1,\infty).

Resposta

(-\infty,-\tfrac{1}{3})\cup[1,\infty)

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