Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
com a informação adicional
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita é
. -
é um parâmetro positivo: . - A desigualdade é estrita:
, então as soluções não incluem pontos em que as duas parcelas sejam iguais.
Passo 2
Vamos entender o que significa comparar quadrados. Uma propriedade útil é que, para qualquer número real
e qualquer número real não negativo
(ou seja,
),
Aqui
, então podemos aplicar essa propriedade com
e
. Assim a inequação original é equivalente a
Passo 3
Agora explico o que significa
A desigualdade
significa que a distância de
até
na reta real é menor que
. Em termos de intervalo isso é exatamente
Portanto a solução é o intervalo aberto
.]
Passo 4
Para consolidar, vou mostrar um método alternativo (útil na prova quando esquecer da propriedade com valor absoluto): transformar em diferença de quadrados e fazer análise de sinais.
Partimos de
Fatorando a diferença de quadrados,
Temos então
Os pontos críticos são
e
. Testando os sinais dos fatores em cada intervalo:
- Se
, então e ⇒ produto (não satisfaz). - Se
, então e ⇒ produto (satisfaz). - Se
, então e ⇒ produto (não satisfaz).
Logo, novamente obtemos a solução
. Note que como a desigualdade é estrita, os extremos
não entram na solução.
Passo 5
Um exemplo numérico para fixar: se
, a inequação
vira
e a solução é
, ou seja
. Isso ajuda a visualizar na reta.