Resolva a inequação.
x^{2}<r^{2}(r>0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x^{2}<r^{2} com a informação adicional r>0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • r é um parâmetro positivo: r>0.
  • A desigualdade é estrita: <, então as soluções não incluem pontos em que as duas parcelas sejam iguais.

Passo 2

Vamos entender o que significa comparar quadrados. Uma propriedade útil é que, para qualquer número real y e qualquer número real não negativo s (ou seja, s\ge0),
y^{2}<s^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |y|<s.
Aqui r>0, então podemos aplicar essa propriedade com y=x e s=r. Assim a inequação original é equivalente a
|x|<r.

Passo 3

Agora explico o que significa |x|<r\). Por definição, \[|x|=\begin{cases} x &\text{se } x\ge0,\\[4pt] -x &\text{se } x<0. \end{cases}
A desigualdade |x|<r\] com \(r>0 significa que a distância de x até 0 na reta real é menor que r. Em termos de intervalo isso é exatamente
-r<x<r.
Portanto a solução é o intervalo aberto (-r,r).]

Passo 4

Para consolidar, vou mostrar um método alternativo (útil na prova quando esquecer da propriedade com valor absoluto): transformar em diferença de quadrados e fazer análise de sinais.
Partimos de
x^{2}<r^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-r^{2}<0.
Fatorando a diferença de quadrados,
x^{2}-r^{2}=(x-r)(x+r).
Temos então
(x-r)(x+r)<0.
Os pontos críticos são x=-r e x=r. Testando os sinais dos fatores em cada intervalo:
  • Se x<-r, então x+r<0 e x-r<0 ⇒ produto >0 (não satisfaz).
  • Se -r<x<r, então x+r>0 e x-r<0 ⇒ produto <0 (satisfaz).
  • Se x>r, então x+r>0 e x-r>0 ⇒ produto >0 (não satisfaz).
Logo, novamente obtemos a solução -r<x<r. Note que como a desigualdade é estrita, os extremos x=\pm r não entram na solução.

Passo 5

Um exemplo numérico para fixar: se r=2, a inequação x^{2}<2^{2} vira x^{2}<4 e a solução é -2<x<2, ou seja x\in(-2,2). Isso ajuda a visualizar na reta.

Resposta

x\in(-r,r)

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