Resolva a inequação.
\frac{x-3}{x^{2}+1} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x-3}{x^{2}+1} \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre polinômios: numerador x-3 e denominador x^{2}+1.
  • A incógnita é x real.
  • Queremos todos os x que tornam a fração menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro identifiquemos o domínio da expressão: o denominador não pode ser zero. Resolver
x^{2}+1=0
leva a x^{2}=-1, que não tem solução real. Logo, o denominador jamais se anula para x\in\mathbb{R}. Conclusão: a expressão está definida para todo x real.

Passo 3

Explicando a técnica que vamos usar (passo-a-passo e bem didático):
  • Quando temos uma inequação do tipo \dfrac{A(x)}{B(x)} \leq 0, a forma clássica é estudar sinais de A(x) e B(x) e montar um quadro de sinais com os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador).
  • Outra ideia útil: se o denominador B(x) é estritamente positivo para todos os x do domínio, então podemos multiplicar os dois lados da inequação por B(x) sem mudar o sentido da desigualdade (multiplicar por número positivo preserva a desigualdade). Vou usar essa forma porque aqui o denominador é sempre positivo — é mais direto e seguro na prova sem calculadora.

Passo 4

Mostrando que o denominador é sempre positivo:
Para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\geq 0. Portanto
x^{2}+1 \geq 0+1 = 1,
ou seja, x^{2}+1\geq 1>0. Assim x^{2}+1 é estritamente positivo para todo x real. Como é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por x^{2}+1 sem inverter o símbolo \leq.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^{2}+1>0 obtemos uma inequação linear simples:
x-3 \leq 0.
Agora resolvemos essa inequação linear. Somando 3 em ambos os lados (operações que preservam a desigualdade), vem
x \leq 3.

Passo 6

Verificação e interpretação (passos que ajudam na prova):
  • Em x=3 temos numerador 3-3=0 e denominador 3^{2}+1=10\neq0, logo a fração vale 0, e como a desigualdade é \leq 0, o ponto x=3 é permitido.
  • Para x<3, o numerador x-3 é negativo e o denominador é positivo, então a fração é negativa — aceita.
  • Para x>3, o numerador é positivo e o denominador positivo, então a fração é positiva — não aceita.
    Exemplos numéricos rápidos para conferir: \dfrac{0-3}{0^{2}+1}=-3<0 (ok para x=0); \dfrac{4-3}{4^{2}+1}=\dfrac{1}{17}>0 (não ok para x=4).

Passo 7

Resumo do raciocínio: o denominador não zera e é sempre positivo, por isso a inequação é equivalente a x-3\leq0, que dá x\leq3. Isso inclui o ponto x=3 porque aí a fração é exatamente zero.

Resposta

(-\infty,3]

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