Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre polinômios: numerador
e denominador . - A incógnita é
real. - Queremos todos os
que tornam a fração menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro identifiquemos o domínio da expressão: o denominador não pode ser zero. Resolver
leva a
, que não tem solução real. Logo, o denominador jamais se anula para
. Conclusão: a expressão está definida para todo
real.
Passo 3
Explicando a técnica que vamos usar (passo-a-passo e bem didático):
- Quando temos uma inequação do tipo
, a forma clássica é estudar sinais de e e montar um quadro de sinais com os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador). - Outra ideia útil: se o denominador
é estritamente positivo para todos os do domínio, então podemos multiplicar os dois lados da inequação por sem mudar o sentido da desigualdade (multiplicar por número positivo preserva a desigualdade). Vou usar essa forma porque aqui o denominador é sempre positivo — é mais direto e seguro na prova sem calculadora.
Passo 4
Mostrando que o denominador é sempre positivo:
Para todo vale
. Portanto
Para todo
ou seja,
. Assim
é estritamente positivo para todo
real. Como é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por
sem inverter o símbolo
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma inequação linear simples:
Agora resolvemos essa inequação linear. Somando
em ambos os lados (operações que preservam a desigualdade), vem
Passo 6
Verificação e interpretação (passos que ajudam na prova):
- Em
temos numerador e denominador , logo a fração vale , e como a desigualdade é , o ponto é permitido. - Para
, o numerador é negativo e o denominador é positivo, então a fração é negativa — aceita. - Para
, o numerador é positivo e o denominador positivo, então a fração é positiva — não aceita.
Exemplos numéricos rápidos para conferir:(ok para ); (não ok para ).
Passo 7
Resumo do raciocínio: o denominador não zera e é sempre positivo, por isso a inequação é equivalente a
, que dá
. Isso inclui o ponto
porque aí a fração é exatamente zero.