Resolva as inequações abaixo:
7 x+3(2 x-5) \leq 9-2(4-x)-5 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a inequação
7x+3(2x-5)\leq 9-2(4-x)-5x.
Informações relevantes que o exercício dá:
  • Há parênteses em ambos os lados, então será preciso aplicar a propriedade distributiva.
  • Trata‑se de uma inequação linear (apenas x em grau 1), logo o conjunto solução deverá ser um intervalo ou um semirreta da reta real.
  • A resposta pedida é o conjunto de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: aplicar a distributiva para eliminar os parênteses. Lembre que a distributiva diz que a(b+c)=ab+ac.
Aplicando no lado esquerdo:
3(2x-5)=3\cdot2x-3\cdot5=6x-15,
portanto o lado esquerdo vira
7x+3(2x-5)=7x+6x-15.
Aplicando no lado direito:
-2(4-x)=-2\cdot4+(-2)\cdot(-x)=-8+2x,
portanto o lado direito vira
9-2(4-x)-5x=9+(-8+2x)-5x.

Passo 3

Agora somamos termos semelhantes em cada lado (termos com x entre si e termos constantes entre si).
No lado esquerdo:
7x+6x-15=13x-15.
No lado direito:
9+(-8+2x)-5x=(9-8)+(2x-5x)=1-3x.
A inequação simplificada é então
13x-15\leq 1-3x.

Passo 4

Agora isolamos x. Podemos somar 3x em ambos os lados (adição de mesma quantidade preserva a desigualdade) para juntar os termos em x de um lado:
13x-15+3x\leq 1-3x+3x
o que dá
16x-15\leq 1.
Em seguida adicionamos 15 em ambos os lados (novamente preserva a desigualdade):
16x-15+15\leq 1+15
resultando em
16x\leq 16.

Passo 5

Para isolar x dividimos ambos os lados por 16. Como 16 é positivo, a direção da desigualdade se mantém. Assim:
x\leq \frac{16}{16}
logo
x\leq 1.

Passo 6

Verificação rápida para ganhar confiança:
  • Se x=1 então o lado esquerdo é 13\cdot1-15=-2 e o lado direito é 1-3\cdot1=-2. Temos -2\leq-2, verdade (igualdade).
  • Se x=2 então o lado esquerdo é 13\cdot2-15=11 e o lado direito é 1-3\cdot2=-5. Temos 11\leq-5, falso. Logo valores maiores que 1 não servem.
    Esses testes confirmam que a solução x\leq1 faz sentido.

Passo 7

Interpretando em forma de intervalo: a solução é todos os reais menores ou iguais a 1, isto é (-\infty,1]. Um jeito de dizer isso na prova é escrever x\leq1 ou x\in(-\infty,1].

Resposta

x\leq1

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