Resolva as inequações abaixo:
\frac{3 x+9}{x} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{3x + 9}{x} \geq 0.
O conteúdo é análise de sinal de uma fração. Para resolver, vamos simplificar a expressão, determinar os pontos críticos (zeros do numerador e ponto de descontinuidade do denominador) e estudar o sinal em cada intervalo definido por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador e retiramos constantes positivas:
\frac{3x + 9}{x} = \frac{3\,(x + 3)}{x} = 3 \,\frac{x + 3}{x}.
Como 3>0, a inequação \frac{3x+9}{x}\ge0 é equivalente a
\frac{x + 3}{x} \ge 0.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos da fração \frac{x+3}{x}:
  • Numerador zero em x + 3 = 0, ou seja, x = -3.
  • Denominador zero em x = 0, ponto onde a expressão fica indefinida.
    Portanto o domínio da inequação é x \neq 0 e os pontos que particionam a reta são x = -3 e x = 0.

Passo 4

Estudamos o sinal de \frac{x+3}{x} em cada intervalo:
  1. Para x < -3:
  • x+3<0 e x<0, logo \frac{x+3}{x}>0.
  1. Para -3 < x < 0:
  • x+3>0 mas x<0, logo \frac{x+3}{x}<0.
  1. Para x > 0:
  • x+3>0 e x>0, logo \frac{x+3}{x}>0.
    Em x=-3 a fração vale zero, o que satisfaz a desigualdade \ge0. Em x=0 a expressão é indefinida e deve ser excluída.

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty, -3] \,\cup\, (0, \infty).

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