Resolva as inequações abaixo:
\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-x-1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}+6 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-x-1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}+6x}.
Informações dadas:
  • As bases são \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{2}, ambas positivas e menores que 1.
  • A incógnita x é um número real qualquer (domínio: todos os reais).
    A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Observação importante sobre potências com base entre 0 e 1:
  • Se 0<a<1, a função u\mapsto a^{u} é estritamente decrescente em u. Ou seja, para 0<a<1,
a^{u}>a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u<v.
Aqui as bases são diferentes, então não podemos aplicar essa propriedade diretamente entre os expoentes, mas podemos tomar logaritmo natural em ambos os lados (já que o logaritmo é estritamente crescente) e trabalhar com constantes negativas resultantes de \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right) e \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Vou usar \ln (logaritmo natural) porque simplifica as expressões.

Passo 3

Tomando \ln em ambos os lados (lembrando que \ln é crescente, então a desigualdade é preservada):
\ln\!\left(\left(\tfrac{1}{3}\right)^{x^{2}-x-1}\right)>\ln\!\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x^{2}+6x}\right).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a, obtemos
(x^{2}-x-1)\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)>(x^{2}+6x)\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Agora use \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-\ln 3 e \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2. Substituindo:
(x^{2}-x-1)(- \ln 3)>(x^{2}+6x)(- \ln 2).
Multiplicando ambos os lados por -1 (isso inverte a desigualdade):
(x^{2}-x-1)\ln 3<(x^{2}+6x)\ln 2.

Passo 4

Colocando tudo num mesmo lado para formar uma inequação quadrática:
\ln 3\;x^{2}-\ln 3\;x-\ln 3-\ln 2\;x^{2}-6\ln 2\;x<0.
Agrupando termos semelhantes:
(\ln 3-\ln 2)\,x^{2}+(-\ln 3-6\ln 2)\,x-\ln 3<0.
Para simplificar escrevemos constantes úteis:
\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\ln 3-\ln 2,\qquad -\ln 3-6\ln 2=-\ln(3\cdot 2^{6})=-\ln 192.
Logo a inequação fica
\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\,x^{2}-\ln 192\;x-\ln 3<0.
Isto é uma inequação quadrática da forma a x^{2}+b x + c <0 com
a=\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)>0,\quad b=-\ln 192,\quad c=-\ln 3.

Passo 5

Para resolver a inequação quadrática, encontramos as raízes da equação associada a x^{2}+b x + c =0 usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=( -\ln 192)^{2}-4\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)(-\ln 3)=(\ln 192)^{2}+4\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\ln 3.
As raízes são
x=\frac{\ln 192\pm\sqrt{(\ln 192)^{2}+4\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\ln 3}}{2\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}.
Agora vamos calcular valores numéricos aproximados para dar uma resposta prática. Usando
\ln 2\approx 0,693147,\qquad \ln 3\approx 1,098612,
obtém-se
\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 0,405465,\qquad \ln 192=\ln(3\cdot 2^{6})\approx 5,257495.
O discriminante numérico é aproximadamente
\Delta\approx(5,257495)^{2}+4\cdot 0,405465\cdot 1,098612\approx 29,42278,
portanto \sqrt{\Delta}\approx 5,424281. Assim as raízes numéricas são
x_{1}\approx\frac{5,257495-5,424281}{0,810930}\approx -0,2057,
x_{2}\approx\frac{5,257495+5,424281}{0,810930}\approx 13,1778.

Passo 6

Como a=\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)>0, a parábola associada abre para cima, então a inequação a x^{2}+b x + c<0 é satisfeita para x entre as raízes. Logo a solução é o intervalo aberto entre x_{1} e x_{2}. Um teste rápido: tome x=0 (que fica entre as raízes); a desigualdade original vira \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-1}>\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}, ou 3>1, que é verdadeira — confirma que estamos no intervalo correto.

Resposta

x\in\left(\frac{\ln 192-\sqrt{(\ln 192)^{2}+4\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\ln 3}}{2\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)},\;\frac{\ln 192+\sqrt{(\ln 192)^{2}+4\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\ln 3}}{2\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}\right)
\approx(-0,2057,\;13,1778)

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