Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- As bases são
e , ambas positivas e menores que . - A incógnita
é um número real qualquer (domínio: todos os reais).
A tarefa é encontrar todos osque satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Observação importante sobre potências com base entre
e
:
- Se
, a função é estritamente decrescente em . Ou seja, para ,
Aqui as bases são diferentes, então não podemos aplicar essa propriedade diretamente entre os expoentes, mas podemos tomar logaritmo natural em ambos os lados (já que o logaritmo é estritamente crescente) e trabalhar com constantes negativas resultantes de
e
. Vou usar
(logaritmo natural) porque simplifica as expressões.
Passo 3
Tomando
em ambos os lados (lembrando que
é crescente, então a desigualdade é preservada):
Usando a propriedade
, obtemos
Agora use
e
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
(isso inverte a desigualdade):
Passo 4
Colocando tudo num mesmo lado para formar uma inequação quadrática:
Agrupando termos semelhantes:
Para simplificar escrevemos constantes úteis:
Logo a inequação fica
Isto é uma inequação quadrática da forma
com
Passo 5
Para resolver a inequação quadrática, encontramos as raízes da equação associada
usando a fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Agora vamos calcular valores numéricos aproximados para dar uma resposta prática. Usando
obtém-se
O discriminante numérico é aproximadamente
portanto
. Assim as raízes numéricas são
Passo 6
Como
, a parábola associada abre para cima, então a inequação
é satisfeita para
entre as raízes. Logo a solução é o intervalo aberto entre
e
. Um teste rápido: tome
(que fica entre as raízes); a desigualdade original vira
, ou
, que é verdadeira — confirma que estamos no intervalo correto.