Resolva as inequações abaixo:
e^{x^{3}-9 x^{2}}<e^{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
e^{x^{3}-9 x^{2}}<e^{3 x-2}.
Informações dadas:
  • A desigualdade envolve exponenciais com base e.
  • Não há outras restrições explícitas sobre x (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Observação importante sobre a função exponencial (aqui um mini-aula rápida e essencial).
  • A função t\mapsto e^{t} é estritamente crescente em \mathbb{R}. Isso significa que, para quaisquer números reais a e b,
e^{a}<e^{b}\quad\Longleftrightarrow\quad a<b.
Essa propriedade permite comparar expoentes em vez de comparar as próprias exponenciais.
Aplicando isso à inequação dada, podemos remover as exponenciais e comparar os expoentes. Assim, a inequação é equivalente a
x^{3}-9x^{2}<3x-2.

Passo 3

Passo algébrico: colocar tudo num lado para trabalhar com um polinômio.
x^{3}-9x^{2}-3x+2<0.
Definimos a função polinomial
f(x)=x^{3}-9x^{2}-3x+2.
O problema passa a ser resolver
f(x)<0.
Agora vamos estudar f para entender onde ela é negativa. Dicas de estudo de polinômios:
  • Para um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo, \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
  • Zeros reais de f (raízes) são cruciais para montar o diagrama de sinais.
  • As derivadas ajudam a localizar máximos e mínimos locais, o que indica se há 1 ou 3 raízes reais.
Calculemos a derivada para localizar extremos:
f'(x)=3x^{2}-18x-3=3\bigl(x^{2}-6x-1\bigr).
As raízes de f' são
x=3\pm\sqrt{10}\quad(\text{aproximadamente }x\approx -0,1623\text{ e }x\approx 6,1623).
Avaliar f nesses pontos revela o comportamento entre os extremos:
  • f(-0,1623)\approx 2,25>0.
  • f(6,1623)\approx -124,08<0.
Como f passa de negativo quando x\to -\infty para positivo em x\approx -0,1623, depois para negativo em x\approx 6,1623 e por fim para +\infty, concluímos que f tem três raízes reais distintas; chamemos-nas de r_{1}<r_{2}<r_{3}. O diagrama de sinais de um cúbico com coeficiente líder positivo e três raízes é:
  • f(x)<0 em (-\infty,r_{1}) e em (r_{2},r_{3}),
  • f(x)>0 em (r_{1},r_{2}) e em (r_{3},+\infty).
Portanto, a solução de f(x)<0 será
(-\infty,r_{1})\cup(r_{2},r_{3}).
Falta agora determinar (aproximadamente) os valores de r_{1},r_{2},r_{3}.

Passo 4

Vamos encontrar aproximações numéricas das raízes por bisseção (método robusto que só usa sinais de f). Vou mostrar iterações e valores para cada raiz.
Raiz r_{1} (entre -1 e 0):
  • f(-1)=-5<0, f(0)=2>0 ⇒ há uma raiz entre -1 e 0.
    Fazendo bisseções sucessivas e avaliando f:
  • x=-0,5: f(-0,5)\approx 1,125>0.
  • x=-0,75: f(-0,75)\approx -1,2344<0.
  • x=-0,625: f(-0,625)\approx 0,1142>0.
  • x=-0,65625: f(-0,65625)\approx -0,1891<0.
  • x=-0,640625: f(-0,640625)\approx -0,0340<0.
  • x=-0,63671875: f(-0,63671875)\approx 0,00305>0.
  • x=-0,638671875: f(-0,638671875)\approx -0,0155<0.
Dessa forma, a raiz r_{1} está entre -0,638671875 e -0,63671875. Tomando três casas decimais, podemos usar
r_{1}\approx -0,637.
Raiz r_{2} (entre 0 e 1):
  • f(0)=2>0, f(1)=-9<0 ⇒ raiz entre 0 e 1.
    Bisseção:
  • x=0,3: f(0,3)\approx 0,317>0.
  • x=0,4: f(0,4)\approx -0,576<0.
  • x=0,35: f(0,35)\approx -0,1096<0.
  • x=0,325: f(0,325)\approx 0,1087>0.
  • x=0,3375: f(0,3375)\approx 0,00075>0.
  • x=0,338: f(0,338)\approx -0,0036<0.
Logo r_{2} está entre 0,3375 e 0,338. Com três casas decimais:
r_{2}\approx 0,338.
Raiz r_{3} (entre 9 e 10):
  • f(9)=-25<0, f(10)=72>0 ⇒ raiz entre 9 e 10.
    Bisseção:
  • x=9,25: f(9,25)\approx -4,7955<0.
  • x=9,3125: f(9,3125)\approx 0,9219>0.
  • x=9,28125: avaliações levam a mudança de sinal; refinando por bisseção linearizada obtemos aproximação em torno de 9,299.
    Testes adicionais (aproximação) dão r_{3}\approx 9,299 (três casas decimais).
Portanto, com aproximações a três casas decimais:
r_{1}\approx -0,637,\qquad r_{2}\approx 0,338,\qquad r_{3}\approx 9,299.

Passo 5

Concluir a solução da inequação original. Lembrando que a inequação original foi equivalente a f(x)<0, temos a solução
(-\infty,r_{1})\cup(r_{2},r_{3}).
Substituindo as aproximações obtidas:
(-\infty,-0,637)\cup(0,338,\,9,299).

Resposta

(-\infty,-0,637)\cup(0,338,\,9,299)

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