Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A desigualdade envolve exponenciais com base
. - Não há outras restrições explícitas sobre
(domínio é todo ).
Passo 2
Observação importante sobre a função exponencial (aqui um mini-aula rápida e essencial).
- A função
é estritamente crescente em . Isso significa que, para quaisquer números reais e ,
Essa propriedade permite comparar expoentes em vez de comparar as próprias exponenciais.
Aplicando isso à inequação dada, podemos remover as exponenciais e comparar os expoentes. Assim, a inequação é equivalente a
Passo 3
Passo algébrico: colocar tudo num lado para trabalhar com um polinômio.
Definimos a função polinomial
O problema passa a ser resolver
Agora vamos estudar
para entender onde ela é negativa. Dicas de estudo de polinômios:
- Para um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo,
e . - Zeros reais de
(raízes) são cruciais para montar o diagrama de sinais. - As derivadas ajudam a localizar máximos e mínimos locais, o que indica se há 1 ou 3 raízes reais.
Calculemos a derivada para localizar extremos:
As raízes de
são
Avaliar
nesses pontos revela o comportamento entre os extremos:
-
. -
.
Como
passa de negativo quando
para positivo em
, depois para negativo em
e por fim para
, concluímos que
tem três raízes reais distintas; chamemos-nas de
. O diagrama de sinais de um cúbico com coeficiente líder positivo e três raízes é:
-
em e em , -
em e em .
Portanto, a solução de
será
Falta agora determinar (aproximadamente) os valores de
.
Passo 4
Vamos encontrar aproximações numéricas das raízes por bisseção (método robusto que só usa sinais de
). Vou mostrar iterações e valores para cada raiz.
Raiz
(entre
e
):
-
, ⇒ há uma raiz entre e .
Fazendo bisseções sucessivas e avaliando: -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Dessa forma, a raiz
está entre
e
. Tomando três casas decimais, podemos usar
Raiz
(entre
e
):
-
, ⇒ raiz entre e .
Bisseção: -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Logo
está entre
e
. Com três casas decimais:
Raiz
(entre
e
):
-
, ⇒ raiz entre e .
Bisseção: -
: . -
: . -
: avaliações levam a mudança de sinal; refinando por bisseção linearizada obtemos aproximação em torno de .
Testes adicionais (aproximação) dão(três casas decimais).
Portanto, com aproximações a três casas decimais:
Passo 5
Concluir a solução da inequação original. Lembrando que a inequação original foi equivalente a
, temos a solução
Substituindo as aproximações obtidas: