Resolva as inequações abaixo em termos de intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
|x|<3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: resolver a inequação |x|<3 em termos de intervalos e ilustrar o conjunto solução na reta real.
  • Dado: a expressão |x| (valor absoluto de x) e a constante 3.
  • Resultado esperado: o conjunto de todos os números reais x que satisfazem |x|<3, escrito como intervalo (e também representado graficamente na reta).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (mini-aula): definição e interpretação geométrica
  • Definição por partes: |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}Isso significa que |x| é a distância de x até 0 na reta real (sempre um número não negativo).
  • Interpretação: a condição |x|<3 pede todos os x cuja distância até 0 é menor que 3. Em palavras: são todos os pontos que estão a menos de 3 unidades de 0 na reta.]

Passo 3

Propriedade útil e sua demonstração curta: reduzir |x|<a para uma desigualdade comum
  • Propriedade (válida para todo a>0): |x|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a<x<a.
  • Por quê? Mostração rápida:
    • Se -a<x<a, então:
      • se x\ge0 temos |x|=x<a;
      • se x<0 temos |x|=-x e x>-a implica -x<a. Em ambos os casos |x|<a.
    • Se |x|<a, então |x| é negativo de nenhuma maneira e a desigualdade implica imediatamente que x<a e também -x<a (ou seja, x>-a). Assim -a<x<a.
  • Conclusão: podemos trocar a condição com valor absoluto pela dupla desigualdade sem valor absoluto.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso |x|<3
  • Tomando a=3 na propriedade do passo anterior, obtemos |x|<3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<3.
  • Observação sobre os extremos: por ser desigualdade estrita ( <), os pontos x=-3 e x=3 NÃO pertencem à solução (são abertos).

Passo 5

Escrever a solução em notações usuais e explicar como lembrar na prova
  • Intervalo aberto (forma compacta): (-3,\,3).
  • Notação por conjunto: \{\,x\in\mathbb{R}\mid -3<x<3\,\}.
  • Dica para a prova: sempre que vir |x|<a com a>0, transforme direto em -a<x<a. Se for |x|\le a, use -a\le x\le a. Isso economiza tempo e evita dividir em casos à toa.

Passo 6

Ilustração do conjunto solução na reta real (representação ASCII)
  • Linha real com marcação em -3, 0 e 3; segmento aberto entre -3 e 3: \dots\;-\infty\;\quad\circ\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!\circ\;\quad+\inftyonde o círculo da esquerda é em -3 e o da direita em 3. Mais explicitamente: \text{---}\;\, \circ_{\,-3}\;================\;\circ_{\;3}\;\text{---}(o segmento sombreado entre \,-3 e 3 representa todos os x tais que -3<x<3; os círculos abertos indicam que -3 e 3 não estão incluídos).

Resposta

(-3,\,3)
\{\,x\in\mathbb{R}\mid -3<x<3\,\}

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