Resolva as inequações abaixo em termos de intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: resolver a inequação
em termos de intervalos e ilustrar o conjunto solução na reta real. - Dado: a expressão
(valor absoluto de ) e a constante . - Resultado esperado: o conjunto de todos os números reais
que satisfazem , escrito como intervalo (e também representado graficamente na reta).
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (mini-aula): definição e interpretação geométrica
- Definição por partes:
Isso significa que é a distância de até na reta real (sempre um número não negativo). - Interpretação: a condição
pede todos os cuja distância até é menor que . Em palavras: são todos os pontos que estão a menos de unidades de na reta.]
Passo 3
Propriedade útil e sua demonstração curta: reduzir
para uma desigualdade comum
- Propriedade (válida para todo
): - Por quê? Mostração rápida:
- Se
, então: - se
temos ; - se
temos e implica . Em ambos os casos .
- se
- Se
, então é negativo de nenhuma maneira e a desigualdade implica imediatamente que e também (ou seja, ). Assim .
- Se
- Conclusão: podemos trocar a condição com valor absoluto pela dupla desigualdade sem valor absoluto.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao caso
- Tomando
na propriedade do passo anterior, obtemos - Observação sobre os extremos: por ser desigualdade estrita (
), os pontos e NÃO pertencem à solução (são abertos).
Passo 5
Escrever a solução em notações usuais e explicar como lembrar na prova
- Intervalo aberto (forma compacta):
- Notação por conjunto:
- Dica para a prova: sempre que vir
com , transforme direto em . Se for , use . Isso economiza tempo e evita dividir em casos à toa.
Passo 6
Ilustração do conjunto solução na reta real (representação ASCII)
- Linha real com marcação em
, e ; segmento aberto entre e : onde o círculo da esquerda é em e o da direita em . Mais explicitamente: (o segmento sombreado entre e representa todos os tais que ; os círculos abertos indicam que e não estão incluídos).