Resolva as equações abaixo em \mathbb{R} :
\left|x^{2}-4 x+3\right|=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\left|x^{2}-4 x+3\right|=2.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x e procuramos todas as soluções reais.
  • Temos um valor absoluto aplicado ao polinômio x^{2}-4x+3.
  • O lado direito é o número 2 (positivo).

Passo 2

Entendendo a propriedade do valor absoluto que vamos usar (aulas rápidas): para qualquer expressão real A e qualquer constante real c\ge0 vale
|A|=c \quad\Longleftrightarrow\quad A=c \text{ ou } A=-c.
Isto significa que, para resolver |A|=c, basta resolver as duas equações lineares/quadráticas A=c e A=-c. Aqui c=2, que é não-negativo, então essa propriedade se aplica.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso com A=x^{2}-4x+3 e c=2, obtemos duas equações a resolver:
x^{2}-4x+3=2
ou
x^{2}-4x+3=-2.

Passo 4

Resolver a primeira equação. Subtraindo 2 dos dois lados:
x^{2}-4x+3-2=0
x^{2}-4x+1=0.
Isto é uma equação quadrática padrão da forma ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-4, c=1. Para resolver equações quadráticas usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Calculemos \Delta:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 16-4 = 12.
Logo
\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-4)\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
Portanto, da primeira equação vêm duas soluções reais: x=2+\sqrt{3} e x=2-\sqrt{3}.

Passo 5

Resolver a segunda equação. Somando 2 aos dois lados da original equivalente:
x^{2}-4x+3+2=0
x^{2}-4x+5=0.
Novamente a=1, b=-4, c=5. Calculemos o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais (as raízes seriam complexas). Portanto não há soluções reais vindas desta segunda equação.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro): as soluções obtidas da primeira equação satisfazem x^{2}-4x+1=0, então para esses valores
x^{2}-4x+3 = (x^{2}-4x+1)+2 = 0+2 = 2,
logo \left|x^{2}-4x+3\right|=|2|=2, confirmando que x=2\pm\sqrt{3} são soluções válidas da equação original.

Resposta

x=2+\sqrt{3}
x=2-\sqrt{3}

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